ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
44
1/
2
[/]
() (,) 2
11
1
(,) ( ()) [ /]
==
⎛⎞
⎛⎞
=Δ
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
∑∑
q
q
Ns
s
msm
k
kt
Zqs y t Ns
s
(6.7(b))
Процедура устранения тренда на каждом малом участке длиной отсчетов необходима в
случае наличия в сигнале трендов внешнего происхождения (сезонных, приливных и т.п.).
Определим теперь функцию как коэффициент линейной регрессии между значениями
s
()hq
()
ln( ( , ))
m
Z
qs и :
ln( )s
() ()
(,)
mhq
Z
qs s∼ . Очевидно, что
() ()qqhq
ρ
=
, а для монофрактального
процесса .
()h q H const==
Следующим шагом в мультифрактальном анализе [9] после определения функции
()q
ρ
является вычисление спектра сингулярности
()F
α
, который является с фрактальной
размерности множества точек, в окрестности которых показатель Гельдера-Липшица для
случайных реализаций процесса
()
x
t
равен
α
, то есть таких точек , для которых
. Стандартный подход состоит в вычислении статистической
суммы Гиббса:
t
|( ) ()|| |, 0+− →∼xt xt
α
δδδ
[/]
(, ) (, )
1
1
1
(,) (max () min ())
Ns
s
msm
kk
ts
ts
k
Wqs y t y t
≤≤
≤≤
=
=Δ−Δ
∑
q
(6.8)
и определения показателя массы
()q
τ
из условия , после чего спектр
()
(,)
q
Wqs s
τ
∼
()F
α
вычисляется согласно формуле:
() max{min( ()),0}
q
Fqq
α
ατ
=−
(6.9)
Сравнивая (6.7) и (6.8), нетрудно заметить, что
() () 1 () 1qq qhq
τ
ρ
=
−= −
. Таким образом,
( ) max { min( ( ( )) 1, 0 }
q
Fqhq
α
α
=−+
.
Для монофрактального процесса, когда
()h q H const
=
=
, получаем, что
()1FH
=
и
() 0FH
α
α
=∀≠
. В частности, положение и ширина носителя спектра
()F
α
, то есть
значения
min max max min
,,
α
αααα
Δ= − и
*
α
- то значение, которое доставляет функции
()F
α
максимум:
*
()max()F
α
F
α
α
=
, являются характеристиками шума. Величину
*
α
можно
назвать обобщенным показателем Херста. Для монофрактального сигнала значение
α
Δ
должно быть равно нулю, а
*
H
α
=
. Что же касается значения
*
()F
α
, то оно равно
44
1/ q
⎛ [ N / s] ⎛ 1 s ⎞
q 2
⎞
Z (m)
(q, s ) = ⎜ ∑ ⎜ ∑ (Δy (ks ,m ) (t )) 2 ⎟ [ N / s] ⎟ (6.7(b))
⎜ k =1 ⎝ s t =1 ⎠ ⎟
⎝ ⎠
Процедура устранения тренда на каждом малом участке длиной s отсчетов необходима в
случае наличия в сигнале трендов внешнего происхождения (сезонных, приливных и т.п.).
Определим теперь функцию h(q ) как коэффициент линейной регрессии между значениями
ln( Z ( m ) (q, s )) и ln( s ) : Z ( m ) ( q, s ) ∼ s h ( q ) . Очевидно, что ρ (q ) = qh(q ) , а для монофрактального
процесса h( q ) = H = const .
Следующим шагом в мультифрактальном анализе [9] после определения функции ρ (q )
является вычисление спектра сингулярности F (α ) , который является с фрактальной
размерности множества точек, в окрестности которых показатель Гельдера-Липшица для
случайных реализаций процесса x(t ) равен α , то есть таких точек t , для которых
| x(t + δ ) − x(t ) | ∼ | δ | α , δ → 0 . Стандартный подход состоит в вычислении статистической
суммы Гиббса:
[N / s]
W ( q, s ) = ∑ (max Δy
k =1
1≤ t ≤ s
( s ,m )
k (t ) − min Δy (ks ,m ) (t )) q
1≤ t ≤ s
(6.8)
и определения показателя массы τ ( q ) из условия W (q, s ) ∼ sτ ( q ) , после чего спектр F (α )
вычисляется согласно формуле:
F (α ) = max { min(α q − τ (q)), 0 } (6.9)
q
Сравнивая (6.7) и (6.8), нетрудно заметить, что τ ( q ) = ρ (q ) − 1 = qh( q ) − 1 . Таким образом,
F (α ) = max { min(q(α − h(q)) + 1, 0 } .
q
Для монофрактального процесса, когда h( q ) = H = const , получаем, что F ( H ) = 1 и
F (α ) = 0 ∀α ≠ H . В частности, положение и ширина носителя спектра F (α ) , то есть
значения α min , α max , Δα = α max − α min и α * - то значение, которое доставляет функции F (α )
максимум: F (α * ) = max F (α ) , являются характеристиками шума. Величину α * можно
α
назвать обобщенным показателем Херста. Для монофрактального сигнала значение Δα
должно быть равно нулю, а α * = H . Что же касается значения F (α * ) , то оно равно
