Интеллектуальные информационные системы. Макаренко С.И. - 175 стр.

                                   17.3.4 Пересечение F-множеств

    Пересечением множеств А и В из F(X) называется множество
C=A∩B, F-функция которого определяется следующим образом:
       µС ( x ) = min ( µ A ( x ) , µ B ( x ) )                                         (17.6)
                    x∈X


     Пересечение                 соответствует              союзу   «и»,   более   компактно
записывается как
       µС = µ A ( x ) ∧ µ B ( x ) ,

где символ « » обозначает операцию взятия min (минимума).
                                                  2                    2
       Пример. Если A = 1 − ( x − 1) , ( 0; 2 ) и B = 1 − ( x − 2 ) , (1,3) , то

            1 − ( x − 2 ) 2 ; 1 < x ≤ 1,5
       µС =               2
                                            ,
             1 − ( x − 1) ; 1, 5 < x ≤ 2

т.е. σ(А∩В) = σ(А)∩σ(В).
     Следствие 2. Множество С является наибольшим из множеств,
содержащихся одновременно в А и в В.
        Доказательство. Пусть F-множество D ⊇ C и принадлежит A и В. Тогда
µ D ≥ ( µС = µ A ( x ) ∧ µ B ( x ) )     и    одновременно    µD ≤ µ A ( x ) , µD ≤ µB ( x ) т.е.
µ D ≤ ( µ A ( x ) ∧ µ B ( x ) = µС ) . Следовательно, D = C .

  17.3.5 Особенности операций пересечения и объединения F-множеств

     Известно, что операции объединения и пересечения четких множеств
являются коммутативными, ассоциативными и обладают свойствами
дистрибутивности по отношению друг к другу. Выявление аналогичных
свойств для F-множеств сводится к анализу функций вида
       f (α , β ) = max (α , β ) - для объединений,

       g (α , β ) = min (α , β ) - для пересечений,

где α = µА(х); β= µB(х); А, В ∈ F(x).
       Графически эти функции на плоскости при некотором фиксированном
β∈ [0, 1] изображены на рис. 17.5, где сплошной линией показан график
функции g, а пунктиром - f.




                                                      174