Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 105 стр.

§12. Биматричная игра
     Рассмотрим конечную бескоалиционную игру (1.1) для двух
лиц. Такая игра называется биматричной и обозначается
                 Г ( A, B) = 〈{ Х , Y }, { A, B}〉.    (12.1)
     Обычно в такой игре задают две матрицы одинакового
размера выигрышей первого и второго игроков. Строки этих
матриц соответствуют стратегиям первого игрока, а столбцы
матриц – стратегиям второго игрока. При этом в первой матрице
представлены выигрыши первого игрока, а во второй матрице –
выигрыши второго. Отметим, что матричная игра, рассмотренная
в предыдущих параграфах, является специальным видом
бескоалиционных игр для который В = -А.
     Для биматричных игр стандартным образом определяется
смешанное расширение, как это представлено в §5. В качестве
решения биматричной игры (как и бескоалиционной игры)
рассматривается равновесная по Нэшу ситуация Согласно
определения 3.1, ситуация ( x*, y*) ∈ X × Y в игре (12.1)
называется равновесием по Нэшу, если выполнены неравенства
               x *T Ay * ≥ x T Ay * ,       ∀x ∈ X ,
               x *T Ay * ≥ x *T Ay ,            ∀y ∈ Y .
      Это решение означает, что стратегия первого игрока
 x* ∈ X является наилучшей его реакцией на действие второго
игрока. Аналогично, стратегия второго игрока является
наилучшей его реакцией на действие первого игрока. Эти
отношения отражены в (3.2). Фактически, равновесная ситуация
( x*, y*) ∈ X × Y при наилучших ответах – реакциях игроков
переходит в себя. Используем это свойство для нахождения
равновесия.
      Для ∀ y ∈ Y найдём те x ∈ X, что доставляют наибольшие
значения функции f1 (x, y). Это обозначается
                x ∈ arg max x∈X f 1 ( x, y ).              (12.2)

                                                               105