Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 106 стр.

Таким образом, определяется отображение x = xmax(y), вообще говоря,
многозначное.
     Для ∀ x ∈ X найдём те y ∈ Y, что доставляют наибольшие
значения функции f2 (x, y). Это обозначается
                            y ∈ arg max y∈Y f 2 ( x, y ).           (12.3)
Таким образом, определяется отображение y = y (x), вообще    max

говоря, многозначное.
       Рассмотрим те пары стратегий ( x, y ) ∈ X × Y , что являются
решением системы уравнений
                         x = xmax(y),                       (12.4)
                         y = ymax(x).                       (12.5)
Такие ситуации и только они являются равновесием по Нэшу в
игре (12.1). Из (12.4) и (12.5) следует, что ситуация
( x, y ) ∈ X × Y является неподвижной точкой соответствующего
(многозначного) отображения множества ситуаций в себя.
       Вернёмся к рассмотрению примера 3.2 “Cемейный спор”.
Напомним, что эта биматричная игра задаётся таблицей




В §3 показано, что в этой игре имеется две ситуации равновесия в
чистых стратегиях (Ф, Ф) и (Б, Б). В смешанном расширении игры
эти ситуации обозначаются (x*, y*) = ((1, 0), (1, 0)), (x°, y°) = ((0, 1), (0,
1)) ∈ X × Y.
      Определим наилучшую реакцию первого игрока на действие
второго игрока в соответствии с (12.2). Пусть x = ( α , 1- α ), α ∈
[0, 1] и y = ( β , 1- β ), β ∈ [0, 1]. Каждая стратегия первого (второго)
игрока однозначно соответствует значению параметра α ∈ [0, 1]


                                                                         106