Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 122 стр.

§14. Свойства седловых точек
     Рассмотрим матричную игру, заданную матрицей А и
состоящую из m строк и n столбцов. Будем изучать игровую
задачу в смешанном расширении. Решение в такой задаче есть
седловая точка (3.3). Именно, ситуация ( x*, y*) ∈ X × Y ⊂ R m × R n
является седловой точкой, если ∀x ∈ X , y ∈Y ,
            x T ⋅ A ⋅ y * ≤ x *T ⋅A ⋅ y * ≤ x *T ⋅A ⋅ y . (14.1)
     Напомним, что в работе рассматриваются векторы –
столбцы и T – операция транспонирования.
      Матричная игра является бескоалиционной игрой (1.1) и
для неё верны результаты предыдущего параграфа. В частности
в ней всегда найдётся седловая точка, возможно в смешанных
стратегиях.
     Для седловых точек выполнено
     Утверждение 14.1. Пусть ситуации ( x*, y*), (x # , y # ) ∈ X × Y
являются седловыми точками в матричной игре. Тогда
                                                     T
     а) выполнено равенство x *T ⋅ A ⋅ y* = x # ⋅ A ⋅ y # ;     (14.2)

     б) ( x*, y # ), ( x # , y*) ∈ X × Y − также седловые точки.
      По условию ситуация ( x*, y*) седловая точка, тогда имеет
место неравенства (14.1). Полагаем в них x = x # , y = y # и
получаем
                T
             x # ⋅ A ⋅ y* ≤ x *T ⋅ A ⋅ y* ≤ x *T ⋅ A ⋅ y # .     (14.3)

  Аналогично для седловой точки ( x # , y # ) в (14.1) положим
                        x = x*, y = y * , тогда
                                T                T
             x *T ⋅ A ⋅ y # ≤ x # ⋅ A ⋅ y # ≤ x # ⋅ A ⋅ y * .    (14.4)
    Из условий (14.3) и (14.4) следует, что фактически в них
выполнены равенства. Значит

                                                                     122