Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 123 стр.

                                 T                 T
           x *T ⋅ A ⋅ y* = x # ⋅ A ⋅ y * = x # ⋅ A ⋅ y # = x *T ⋅ A ⋅ y # .
     Последнее означит, что выполнено (14.2). Из определения
седловых точек, получаем, ∀ х ∈ Х, ∀ y ∈ Y
                     x T ⋅ A ⋅ y * ≤ x *T ⋅ A ⋅ y # ≤ x *T ⋅ A ⋅ y.
Ситуация ( x*, y # ) ∈ X × Y − седловая точка. Утверждение
доказано полностью.
     Свойство матричных игр, выраженное в (14.2), называется
равносильностью седловых точек. Оно позволяет однозначно
определить цену игры ν* = x *T ⋅A ⋅ y *по любой седловой точке.
Отметим, что в общих бескоалиционных играх равносильность
равновесий не выполняется. Так в игре Семейный спор имеется
три ситуации равновесия (12.6), но выигрыши игроков в этих
ситуациях разные. Действительно
                                                                           T
  ν* = ( x *T ⋅A ⋅ y *, x *T ⋅By *) = ( 2,1) ≠ (1,2 ) = ( x oT ⋅ A ⋅ y o , x o ⋅ By o ) = νo .
     Свойство б) из утверждения называется взаимозаменяемостью
седловых точек. Оно позволяет говорить об оптимальных
стратегиях первого (второго) игрока. Стратегия x* ∈ X ( y* ∈ Y )
первого (второго) игрока в матричной игре называется
оптимальной, если она входит, по крайней мере, в одну седловую
точку игры. Множество оптимальных стратегий игрока
обозначается X * ⊂ X ( Y * ⊂ Y ). Тогда, согласно утверждению
14.1, множество седловых точек в матричной игре есть декартово
произведение оптимальных стратегий игроков X * ×Y * .
     В общих бескоалиционных играх взаимозаменяемость
равновесий не выполнена. Например, а игре Семейный спор
равновесные ситуации (11.6)
              ( x*, y*) = ((1,0), (1,0)), ( x o , y o ) = ((0,1), (0,1)),
но ситуации
           ( x*, y o ) = ((1,0), (0,1)) и ( x o , y*) = ((1,0), (0,1))
не являются равновесиями.

                                                                                        123