Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 124 стр.

     Утверждение 14.2. В матричной игре множество оптимальных
стратегий X * ⊂ R m ( Y * ⊂ R n ) первого (второго) игрока является
                                                                 ся
непустым, выпуклым многогранником.
    Непустота множества X * следует из теоремы Нэша. В
смешанном расширении матричной игры оптимальные стратегии
являются элементами фундаментального симплекса (5.1) евклидова
пространства R m и можно говорить о выпуклости множества
стратегий. Симплекс (5.1) является выпуклым многогранником.
Оптимальные стратегии удовлетворяют конечной системе линейных
неравенств. Решение каждого неравенства есть полуплоскость в R m .
Пересечение симплекса и полуплоскостей является выпуклым
многогранником. В итоге множество X * удовлетворяет требуемому
свойству, как пересечение выпуклых многогранников.
     Если рассматривать седловые точки, как элементы
евклидова пространства R m+ n , то они тоже образуют выпуклое
множество в матричной игре.
     В общем случае бескоалиционной игры множества
оптимальных стратегий и равновесных ситуаций не является
выпуклыми. В игре Семейный спор равновесные ситуации
     ( x*, y*) = ((1,0), (1,0)), ( x o , y o ) = ((0,1), (0,1)) ∈ X * × Y * ,
но ситуация
              ( x ⊗ , y ⊗ ) = 0,5 ⋅ ((1,0 ), (1,0 )) + 0,5(( 0,1), ( 0,1)) =
                           (( 0,5,0,5), ( 0,5,0,5)) ∉ X * ×Y * .
     В конечной бескоалиционной игре (1.1) множество ситуаций
равновесия по Нэшу не является выпуклым, как показывает
пример игры Семейный спор. Но множество решений в этом
случае можно представить как объединение конечного числа
многогранников. Так в игре Семейный спор множество
равновесных ситуаций есть объединение трёх одноэлементных
(значит выпуклых) множеств
                   {(x*, y*)}U{(x°, y°)}U{(x·, y·)} =
        {((0, 1), (0, 1)), ((1, 0), (1, 0)), ((1/3, 2/3), (2/3, 1/3)}.
                                                                                124