Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 127 стр.

§15. Бескоалиционная игра с бесконечным
числом равновесных ситуаций
    Теорема Нэша устанавливает условия существования хотя
бы одного равновесия в бескоалиционной игре. Равновесие может
быть одно, как в Дилемме заключённых (пример 2.1). Их может
быть несколько, как в игре Семейный спор (пример 3.2). Наиболее
сложный случай возникает, когда в игре бесконечное множество
равновесий. Рассмотрим соответствующий
    Пример 15.1. Решить биматричную игру, заданную двумя
матрицами выигрышей первого и второго игроков
                                       ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 0⎞
                           ( A, B) = (⎜⎜     ⎟⎟, ⎜⎜ ⎟⎟).
                                       ⎝ 0 2⎠ ⎝ 0 1⎠
    У игроков в этой игре нет доминируемых стратегий. В тоже
время имеется две ситуации равновесия в чистых стратегиях.
Согласно определению 3.1, это ситуации
     ( x *1, y *1 ) ∈ X ×Y , x *1 = ( 0,1), y *1 = ( 0,1), f ( x *1, y *1 ) = ( 2,1);
   ( x *2 , y *2 ) ∈ X ×Y , x * 2 = (1,0 ), y *2 = (1,0 ), f ( x * 2 , y * 2 ) = (1,0 ).
      Имеются и другие ситуации равновесия в смешанных
стратегиях. Рассмотрим смешанное расширение игры Г(A,B). Как
обычно множества стратегий игроков
                       X = {(α ,1 − α ) ∈ R 2 α ∈ [0,1]},

                       Y = {( β ,1 − β ) ∈ R 2 β ∈ [0,1]}.
     Найдём равновесные ситуации, как неподвижные точки
соответствующего многозначного отображения множества
ситуаций в себя. Определим наилучшую реакцию первого игрока
на действие второго игрока. Тогда
        α ∈ arg max α∈[0,1] x T Ay = arg max α∈[0,1] ( 2αβ − 2α − β − 2 );




                                                                                        127