Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 128 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

128
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∈β
=β
∈β
=α
].,(,
,],,[
),,[,
1
3
2
1
3
2
10
3
2
00
Определим наилучшую реакцию второго игрока на действие
первого. Это означает
);(maxargmaxarg
],[],[
1
1010
+β−α−αβ=∈β
∈β∈β
Byx
T
⎩
⎨
⎧
=α
∈α
=β
.],,[
],,[,
110
100
Для аналитического нахождения равновесия рассмотрим
систему двух уравнений
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∈β
=β
∈β
=α
].,(,
,],,[
),,[,
1
3
2
1
3
2
10
3
2
00
⎩
⎨
⎧
=α
∈α
=β
.],,[
),,[,
110
100
Решим систему графически. Функция наилучшей реакции
первого игрока
α
=
α
(
β
) представлена на рисунке 15.1 ломаной
OCDB. Наилучшая реакция второго игрока изображена ломаной
OAB. Построим графики функций в одной системе координат.
Результат построения представлен на рисунке 15.1.
Общие точки двух графиков соответствуют равновесным
ситуациям. Ломаные OCDB и OAB совпадают в точке О и во всех точках
отрезка BD. Имеется бесконечное множество общих точек и, значит, и
бесконечное число равновесных ситуаций
. Более того, число ситуаций
равновесия в игре имеет мощность контиинум. Точка O(0, 0)
соответствует равновесной ситуации (x*
1
, y*
1
) в чистых стратегиях, а
точке С(1, 1) равновесию (x*
2
, y*
2
) также в чистых стратегиях.
                                 ⎧0, β ∈ [0, 2 ),
                                 ⎪⎪             3
                             α = ⎨ [0,1],β = 2 ,
                                                 3
                                  ⎪          2
                                  ⎪⎩ 1, β ∈ ( 3 ,1].

Определим наилучшую реакцию второго игрока на действие
первого. Это означает
        β ∈ arg max β∈[0,1] x T By = arg max β∈[0,1] ( αβ − α − β + 1);


                          ⎧0, α ∈ [0,1],
                       β=⎨
                          ⎩[0,1],α = 1.
     Для аналитического нахождения равновесия рассмотрим
систему двух уравнений

                                 ⎧0, β ∈ [0, 2 ),
                                 ⎪⎪              3
                             α = ⎨ [0,1],β =   2   ,
                                                 3
                                  ⎪          2
                                  ⎪⎩ 1, β ∈ ( 3 ,1].

                               ⎧0, α ∈ [0,1),
                           β=⎨
                               ⎩[0,1],α = 1.
     Решим систему графически. Функция наилучшей реакции
первого игрока α = α ( β ) представлена на рисунке 15.1 ломаной
OCDB. Наилучшая реакция второго игрока изображена ломаной
OAB. Построим графики функций в одной системе координат.
Результат построения представлен на рисунке 15.1.
     Общие точки двух графиков соответствуют равновесным
ситуациям. Ломаные OCDB и OAB совпадают в точке О и во всех точках
отрезка BD. Имеется бесконечное множество общих точек и, значит, и
бесконечное число равновесных ситуаций. Более того, число ситуаций
равновесия в игре имеет мощность контиинум. Точка O(0, 0)
соответствует равновесной ситуации (x*1, y*1) в чистых стратегиях, а
точке С(1, 1) равновесию (x*2, y*2) также в чистых стратегиях.
                                                                          128

Страницы