Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 130 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

130
Пример 15.2. Решить графическим методом матричную игру
с матрицей
.
2
11
4
4
7
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=A
Решаем игру с позиций первого игрока, так как он имеет
две чистые стратегии. Пусть его стратегия
.10 ),1 ,(
≤
≤
−=
α
α
α
x
Вычислим
). 92 ,4 ,57(
2
11
4
4
7
2
)1 ,(
αααα
+−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=Ax
T
Обозначим
,57)(
1
αα
−=f
,4)(
2
=
α
f
.92)(
3
αα
+=f
Найдём
(
)
=))( , ),((minmax
321
ααα
α
fff
i
)). 92 ,4 ,57((minmax
αα
α
+−
i
Для нахождения максимина приведём геометрическую
иллюстрацию на рис.15.2.
Вначале для каждого
]1,0[
∈
α
найдём
). 92 ,4 ,57(min
αα
+−
i
На рис. 15.2 такие минимумы для каждого
]1,0[
∈
α
образуют
ломаную – нижнюю огибающую АВСD. Затем на огибающей
находим наибольшее значение, равное 4. Оно достигается в
бесконечном множестве точек. Это все точки отрезка ВС. Они
расположены на участке графика функции f
2
=4, когда
].
5
3
,
9
2
[∈
α
     Пример 15.2. Решить графическим методом матричную игру
с матрицей
                                            ⎛ 2 4 11⎞
                                       A = ⎜⎜       ⎟⎟.
                                            ⎝7 4 2 ⎠

      Решаем игру с позиций первого игрока, так как он имеет
две      чистые       стратегии.    Пусть  его     стратегия
x = (α , 1 − α ), 0 ≤ α ≤ 1. Вычислим
                            ⎛ 2 4 11⎞
       x T A = (α , 1 − α )⎜⎜       ⎟⎟ = (7 − 5α , 4, 2 + 9α ).
                            ⎝ 7 4 2⎠
Обозначим
                                       f1 (α ) = 7 − 5α ,
                                          f 2 (α ) = 4,
                                       f 3 (α ) = 2 + 9α .
Найдём
                max min ( f 1 (α ), f 2 (α ), f 3 (α )) =
                  α        i

                  max (min (7 − 5α , 4, 2 + 9α )).
                      α            i
    Для нахождения максимина приведём геометрическую
иллюстрацию на рис.15.2.
Вначале для каждого α ∈ [0,1] найдём
                          min (7 − 5α , 4, 2 + 9α ).
                               i

На рис. 15.2 такие минимумы для каждого α ∈ [0,1] образуют
ломаную – нижнюю огибающую АВСD. Затем на огибающей
находим наибольшее значение, равное 4. Оно достигается в
бесконечном множестве точек. Это все точки отрезка ВС. Они
расположены на участке графика функции f2=4, когда α ∈ [ 2 9 , 3 5 ].

                                                                  130

Страницы