Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 141 стр.

     Рассмотрим ситуации, составленные из выделенных стратегий
первого и второго игроков. Каждой из них будет соответствовать набор
чистых стратегий, как объединение соответствующих чистых
стратегий игроков для этой ситуации. Тогда ситуация будет
равновесием по Нэшу тогда и только тогда, когда ей будет
соответствовать полный набор всех чистых стратегий в игре.
Действительно, в этом случае каждая чистая стратегия либо не
используется в равновесии, либо является наилучшим чистым ответом
на выбор другого игрока. Такая ситуация и является равновесной.
      В данной игре выделено пять стратегий первого игрока и четыре
стратегии у второго. Тогда рассматривается 20 ситуаций. Три из них
подходят под условие равновесия по Нэшу. Действительно,

         ( x *, y *) = ( X 5 ,Y 1 ) = (( 0,0,1), (1,0 )) → ((1,2,4); (3,5));

    ( x o , y o ) = ( X 4 ,Y 2 ) = (( 0, 1 , 2 ), ( 2 , 1 )) → ((1,4,5); (2,3));
                                          3 3        3 3
   ( x ⊗ , y ⊗ ) = ( X 2 ,Y 3 ) = (( 2 , 1 ,0 ), ( 1 , 2 )) → ((3,4,5); (1,2)).
                                      3 3           3 3

    Отметим, что ситуация ( x*, y*) = ((0,0,1), (1,0)) , как
равновесие по Нэшу, была выявлена вначале по определению
3.1 или замечанию 3.1. Вычислим выигрыши игроков в
равновесных ситуациях
   f * ( x*, y*) = ( f1* , f 2* ) = ( x *T ⋅ A ⋅ y * , x *T ⋅ B ⋅ y * ) = (3, 4);
                                                                                   2
   f o ( x o , y o ) = ( f1o , f 2o ) = ( x oT ⋅ A ⋅ y o , x oT ⋅ B ⋅ y o ) = (3, 2 );
                                                                                   3
                                                                                   2
 f ⊗ ( x ⊗ , y ⊗ ) = ( f1⊗ , f 2⊗ ) = ( x ⊗T ⋅ A ⋅ y ⊗ , x ⊗T ⋅ B ⋅ y ⊗ ) = (4,      ).
                                                                                   3
    Таким образом в рассмотренном примере имеется три
равновесия по Нэшу.
     Ответ:        X * ×Y * = ( x*, y*) U ( x o , y o ) U ( x ⊗ , y ⊗ );
                  ( x*, y*) = ((0,0,1), (1,0)); f * = ((3, 4);
                                                                                    141