Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 38 стр.

нирования. Так как рассматривается матричная                     игра
(антагонистическая игра), то выигрыш второго игрока
      f 2 ( x, y ) = − f ( x, y ) = − x T Ay.
    Формально смешанное расширение матричной игры
представлено в (1.2).
    Определение 5.2. Смешанным расширением матричной игры
является система (1.2), где X ⊂ R m , Y ⊂ R n множества смешанных
стратегий, определено в (5.1) и (5.2), а функция выигрышей
первого игрока представлена в (5.4).
     По аналогичной схеме можно определить смешанное
расширение конечной бескоалиционной игры. Такое смешанное
расширение будет представлено в (1.1). Формально можно
определить смешанное расширение бескоалиционной игры, в
которой множество стратегий хотя бы одного игрока бесконечно.
Смешанная стратегия в этом случае будет вероятностной мерой
на пространстве стратегий игрока. Такие игры называются
бесконечными. Они активно изучались, но теория таких игр
выходит за рамки этой работы. Заинтересованным лицам укажем
литературу [2, c.92 – 159; 4, с.60 – 113; 7].
     Понятия,       разработанные        для    бескоалиционной
(антагонистической, матричной) игры остаются верными и для
смешанного расширения игры. Для таких игр в качестве решения
активно используется понятие равновесия по Нэшу (седловая
точка) в смешанных стратегиях. Критерий существования
седловой точки, представленный в утверждении 4.2, остаётся
верным и в смешанном расширении игры. Кроме того,
смешанные стратегии можно применять в алгоритме
последовательного удаления строго доминируемых стратегий.
В этом случае применяются условия строгого доминирования (2.3)
и f i ( x −i , xi* ) в них определяется по правилу аналогичному (5.4).

     Пример 5.1. Решить матричную игру с матрицей



                                                                    38