Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 41 стр.

§6. Графоаналитический метод решения
матричных игр 2 × n и m × 2
     Для некоторых классов матричных игр практический
интерес представляет графоаналитический метод. Этот метод
состоит из двух частей. Вначале в матричной игре графически
выявляются качественные особенности решения, затем полная
характеристика решения находится аналитически.
     В основе метода лежит утверждение 4.2, которое остаётся
верным и в смешанном расширении игры. Седловая точка в
матричной игре существует тогда и только тогда, когда
выполняется равенство
               max min f ( x, y ) = min max f ( x, y ) = ν*,
               x ∈X   y∈Y              y∈Y       x∈X

причём седловую точку составляют стратегии, доставляющие
внешние экстремумы в последнем равенстве.
    Пример 6.1. Найти седловую точку матричной игры,
заданной матрицей
                                         ⎛ 2 3 11⎞
                            A = A 2×3 = ⎜⎜       ⎟⎟
                                         ⎝7 5 2 ⎠

     Здесь первый игрок имеет две чистые стратегии, а второй
игрок три стратегии. Решаем игру с позиций первого игрока, т.е.
с позиций игрока, имеющего две чистые стратегии.
     Пусть его смешанная стратегия x = (α , 1 − α ), 0 ≤ α ≤ 1.
Вычислим
                     ⎛ 2 3 11⎞
   xA = (α , 1 − α )⎜⎜       ⎟⎟ = (2α + 7(1 − α ), 3α + 5(1 − α ),
                     ⎝ 7 5 2⎠
           11α + 2(1 − α )) = ( 7 − 5α , 5 − 2α , 2 − 9α ).
    Обозначим
                            f1 (α ) = 7 − 5α ,

                                                                     41