Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

44
Вначале для каждого
]1,0[
∈
β
найдём
).32 ,(min
},{
β+β−
∈
811
21i
На рис.6.2 такие минимумы для каждого
]1,0[
∈
β
образуют
ломаную – верхнюю огибающую KLM. Затем на огибающей
находим наименьшее значение, которое достигается в точке L.
Эта точка появляется при
]1,0[
∈
β
, которое является решением
уравнения
,
21
ff =
т.е. 11-8
β
= 2+3
β
. Здесь
β
=
.
11
9
Вторая
координата точки L будет
11
49
11
9
811 =⋅−
. Итак L(
).
11
49
,
11
9
В
смешанном расширении данной игры
.
11
49
))32 ,(max(min
},{
=β+β−
∈
≤β≤
811
21
10
i
Минимаксная стратегия второго игрока y
B
= (0,
β
, 1-
β
) = (0, 9/
11, 2/11).
В примере выполнены условия утверждения 4.2. В самом
деле, минимакс и максимин существуют и выполнено равенство
B
ν
=
Н
ν
= 49/11.
0
f
1
K
2
11
)(β
1
f
)(β
2
f
β
Рис. 6.2.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
11
49
11
9
,L
                    f
                         K
                 11               f1(β )
                                               ⎛ 9 49 ⎞
                                              L⎜ , ⎟
                                               ⎝ 11 11 ⎠
                                                       M

                    2           f 2 (β )
                     0                                 1 β
                                  Рис. 6.2.


Вначале для каждого β ∈ [0,1] найдём
                             min (11 − 8β, 2 + 3β ).
                             i ∈{1, 2}

На рис.6.2 такие минимумы для каждого β ∈ [0,1] образуют
ломаную – верхнюю огибающую KLM. Затем на огибающей
находим наименьшее значение, которое достигается в точке L.
Эта точка появляется при β ∈ [0,1] , которое является решением
уравнения f1 = f 2 , т.е. 11-8 β = 2+3 β . Здесь β = 911. Вторая

                                                              9 49
координата точки L будет 11 − 8 ⋅ 9 11 = 49 11 . Итак L(       , ). В
                                                             11 11
смешанном расширении данной игры
                 min ( max (11 − 8β, 2 + 3β )) = 49 .
                 0 ≤ β ≤1 i ∈{1, 2}                11
Минимаксная стратегия второго игрока yB = (0, β , 1- β ) = (0, 9/
11, 2/11).
       В примере выполнены условия утверждения 4.2. В самом
деле, минимакс и максимин существуют и выполнено равенство
                             ν B = ν Н = 49/11.

                                                                   44

Страницы