Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

46
Найдём
(
)
=βββ
∈
≤β≤
))( , ),((maxmin
},,{
321
321
10
fff
i
)). ,5 ,(max(min
},,{
β−−ββ−
∈
≤β≤
55234
321
10
i
Для нахождения минимакса приведём геометрическую
иллюстрацию на рис.6.3.
Вначале для каждого
]1,0[
∈
β
найдём
). ,5 ,(max
},,{
β−−ββ−
∈
55234
321i
На рис.6.3 такие максимумы для каждого
]1,0[
∈
β
образуют
ломаную – верхнюю огибающую HJKL. Затем на огибающей
находим наименьшее значение, которое достигается в точке K.
Эта точка будет при
]1,0[
∈
β
, которое является решением
уравнения
,
21
ff =
т.е. 4-3
β
= 5
β
-2. Значит
β
=
.
4
3
Вторая
координата точки K есть
4
7
4
3
34 =⋅−
. Итак K(
).
4
7
,
4
3
В
смешанном расширении данной игры
f
β
1
H
J
L
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
4
7
4
3
,K
Рис. 6.3.
)(
β
2
f
)(
1
f
)(β
3
f
2−
0
4
5
    Найдём
                min max ( f 1 ( β ), f 2 (β ), f 3 ( β )) =
                0 ≤ β ≤1 i∈{1, 2,3}

                min ( max ( 4 − 3β, 5β − 2, 5 − 5β )).
                0 ≤ β ≤1 i ∈{1, 2,3}

    Для нахождения минимакса приведём геометрическую
иллюстрацию на рис.6.3.

                f


                    H
                5

                4                                             f 2 (β )
                                       J    ⎛3 7⎞
                                           K⎜ , ⎟    L
                                            ⎝ 4 4⎠

                                                         f1 (β )
                0                                        β
                                                     1    f 3 (β )
               −2                  Рис. 6.3.


Вначале для каждого β ∈ [0,1] найдём
                      max ( 4 − 3β, 5β − 2, 5 − 5β ).
                     i ∈{1, 2,3}

    На рис.6.3 такие максимумы для каждого β ∈ [0,1] образуют
ломаную – верхнюю огибающую HJKL. Затем на огибающей
находим наименьшее значение, которое достигается в точке K.
Эта точка будет при β ∈ [0,1] , которое является решением
уравнения f1 = f 2 , т.е. 4-3 β = 5 β -2. Значит β = 3 4 . Вторая

                                                                         3 7
координата точки K есть 4 − 3 ⋅ 3 4 = 7 4 . Итак K(                       , ). В
                                                                         4 4
смешанном расширении данной игры

                                                                              46

Страницы