Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

48
На рис.6.4 такие минимумы для каждого
]1,0[∈
α
образуют ломаную
– нижнюю огибающую MNP. Затем на огибающей находим
наибольшее значение, которое достигается в точке N. Эта точка
появляется при
]1,0[
∈
α
и является решением уравнения
,
21
ff =
т.е. 3-2a = 6a-2. Здесь a =
.
8
5
Вторая координата точки N будет
4
7
8
5
23 =⋅−
. Итак N(
).
4
7
,
8
5
В смешанном расширении данной игры
.
4
7
)),6 ,(min(max
},{
=−αα−
∈
≤α≤
223
21
10
i
Максиминная стратегия первого игрока x
Н
= (
α
, 1-
α
, 0) =
(5/8, 3/8, 0).
В примере выполнены условия утверждения 4.2. В самом
деле, минимакс и максимин существуют и выполнено равенство
B
ν
=
Н
ν
= 7/4.
Значит цена игры
ν
* = 7/4 и седловая точка (x*, y*) =
((5/8, 3/8, 0), (3/4, 1/4)).
В итоговой проверке следует продемонстрировать
выполнение равенства
.**)(*)( vyAx
T
=
В данном примере
получаем
M
P
f
α
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
4
7
8
5
,N
Рис. 6.4.
2
−
0
3
                 f




                              ⎛5 7⎞
                             N⎜ , ⎟
                  3           ⎝8 4⎠
                                         P

                  0                           α
                             Рис. 6.4.
                −2 M

На рис.6.4 такие минимумы для каждого α ∈ [0,1] образуют ломаную
– нижнюю огибающую MNP. Затем на огибающей находим
наибольшее значение, которое достигается в точке N. Эта точка
появляется при α ∈ [0,1] и является решением уравнения f1 = f 2 ,

т.е. 3-2a = 6a-2. Здесь a = 5 8 . Вторая координата точки N будет

                       5 7
3 − 2 ⋅ 5 = 7 . Итак N( , ). В смешанном расширении данной игры
         8   4         8 4
                     max ( min ( 3 − 2α, 6α,−2 )) = 7 .
                     0 ≤ α ≤1 i ∈{1, 2}               4
      Максиминная стратегия первого игрока xН = ( α , 1- α , 0) =
(5/8, 3/8, 0).
       В примере выполнены условия утверждения 4.2. В самом
деле, минимакс и максимин существуют и выполнено равенство
                                     ν B = ν Н = 7/4.
      Значит цена игры ν * = 7/4 и седловая точка (x*, y*) =
((5/8, 3/8, 0), (3/4, 1/4)).
       В итоговой проверке следует продемонстрировать
выполнение равенства ( x *)T A ( y *) = v * . В данном примере
получаем

                                                               48

Страницы