Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

50
Вначале для каждого
]1,0[
∈
α
найдём
). 2-1 ,(min
},{
α−α
∈
12
21i
На рис.6.5 такие минимумы для каждого
]1,0[
∈
α
образуют
ломаную – нижнюю огибающую MPQ. Затем на огибающей
находим наибольшее значение, которое будет в точке P. Эта точка
достигается при
]1,0[
∈
α
, которое является решением уравнения
,
21
ff =
т.е. 2
α
- 1 = 1 - 2
α
. Здесь
α
=
.
2
1
Вторая координата
точки P будет
01
2
1
2 =−⋅
. Итак P(
).0 ,
2
1
В смешанном
расширении данной игры
.)) 2 -1 ,(min(max
},{
012
21
10
=α−α
∈
≤α≤
i
Максиминная стратегия первого игрока x
н
= (
α
, 1-
α
) =
(1/2, 1/2).
По аналогичной схеме найдём минимаксную стратегию
второго игрока. Его стратегию обозначим
.10 ),1 ,(
≤
≤
−=
β
β
β
y
Вычислим
)(
α
1
f
)(
α
2
f
1
0
f
α
1
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
0
2
1
,P
Рис. 6.5.
M
Q
                       f




                                                          f1 (α )
                           1
                                             ⎛1 ⎞
                                           P ⎜ ,0 ⎟
                                             ⎝2 ⎠
                                                                     α
                           0                              1
                     −1                                       f 2 (α )
                               M                      Q
                                   Рис. 6.5.
Вначале для каждого α ∈ [0,1] найдём
                               min ( 2α − 1, 1 - 2 α ).
                               i ∈{1, 2}

На рис.6.5 такие минимумы для каждого α ∈ [0,1] образуют
ломаную – нижнюю огибающую MPQ. Затем на огибающей
находим наибольшее значение, которое будет в точке P. Эта точка
достигается при α ∈ [0,1] , которое является решением уравнения

f1 = f 2 , т.е. 2 α - 1 = 1 - 2 α . Здесь α = 1 2 . Вторая координата

точки P будет 2 ⋅ 1 2 − 1 = 0 . Итак P( 1 2 , 0). В смешанном
расширении данной игры
                     max ( min ( 2α − 1, 1 - 2 α )) = 0.
                     0 ≤ α ≤1 i ∈{1,2}

      Максиминная стратегия первого игрока x н = ( α , 1- α ) =
(1/2, 1/2).
      По аналогичной схеме найдём минимаксную стратегию
второго      игрока.     Его     стратегию        обозначим
y = ( β , 1 − β ), 0 ≤ β ≤ 1.
Вычислим

                                                                         50

Страницы