Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

49
4
7
4
1
4
3
5
2-
4
0
3
1
)0 ,
8
3
,
8
5
( =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
,
верное равенство.
Ответ :
(x*, y*) = ((5/8, 3/8, 0), (3/4, 1/4)),
ν
* = 7/4 .
Наконец, решим отложенный из §3
Пример 3.3
. (Орлянка, окончание ). Напомним, что эта игра
представлена матрицей
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
×
1
1
1
1
22
A
Здесь игрок 1 и игрок 2 имеет две чистые стратегии. Решаем
игру с позиций первого игрока.
Пусть его стратегия
.10),1 ,( ≤
≤
−
=
α
α
α
x
Вычислим
)1- ),1((
1
1-
1-
1
)1 ,( =−+−−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
αααααα
xA
).21 ,12(
α
α
−
−
Обозначим
,12)(
1
−=
αα
f
.21)(
2
αα
−=f
Найдём
()
=αα
∈
≤α≤
) ),((minmax
},{
21
21
10
ff
i
)). 2-1 ,(min(max
},{
α−α
∈
≤α≤
12
21
10
i
Для нахождения максимина приведём геометрическую
иллюстрацию на рис.6.5.
                                     ⎛1 4 ⎞ ⎛ 3 ⎞
                                     ⎜       ⎟
                  ( 5 8 , 3 8 , 0) ⋅ ⎜ 3 - 2 ⎟ ⋅ ⎜ 4 ⎟ = 7 4
                                                 ⎜1 ⎟        ,
                                     ⎜0 5 ⎟ ⎝ 4⎠
                                     ⎝       ⎠
верное равенство.
     Ответ : (x*, y*) = ((5/8, 3/8, 0), (3/4, 1/4)), ν * = 7/4 .

     Наконец, решим отложенный из §3
     Пример 3.3. (Орлянка, окончание ). Напомним, что эта игра
представлена матрицей
                                   ⎛ 1 −1 ⎞
                          A2 ×2 = ⎜⎜        ⎟⎟
                                   ⎝ −1 1 ⎠
    Здесь игрок 1 и игрок 2 имеет две чистые стратегии. Решаем
игру с позиций первого игрока.
Пусть его стратегия x = (α , 1 − α ),0 ≤ α ≤ 1. Вычислим

                        ⎛ 1 -1         ⎞
      xA = (α , 1 − α )⎜⎜              ⎟⎟ = (α − (1 − α ), - α + 1 − α ) =
                        ⎝ -1 1          ⎠
                               ( 2α − 1, 1 − 2α ).
Обозначим
                                 f1 (α ) = 2α − 1,
                                 f 2 (α ) = 1 − 2α .
Найдём
                        max min ( f 1 ( α ), f 2 (α )) =
                        0 ≤ α ≤1 i∈{1, 2}

                       max ( min ( 2α − 1, 1 - 2 α )).
                       0 ≤ α ≤1 i ∈{1,2}

Для нахождения максимина                       приведём      геометрическую
иллюстрацию на рис.6.5.




                                                                             49

Страницы