Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 51 стр.

                  ⎛ 1 -1⎞⎛ β ⎞
         A ⋅ y = ⎜⎜       ⎟⎟⎜⎜    ⎟⎟ = (β + (1 − β ), − β + (1 − β )) =
                  ⎝ - 1 1 ⎠⎝1 − β ⎠
                                     ( 2β − 1, 1 − 2β ) .

Обозначим
                                     f1 ( β ) = 2 β − 1,
                                     f 2 ( β ) = 1 − 2β .
Найдём
                         min max ( f 1 (β ), f 2 (β )) =
                         0 ≤ β ≤1 i ∈{1,2}

                         min ( max ( 2β − 1, 1 − 2β )).
                         0 ≤ β ≤1 i ∈{1, 2}

    Для нахождения минимакса приведём геометрическую
иллюстрацию на рис.6.6.


                          f




                              1                                    f1 (β )
                                   R                       T
                                                  ⎛1 ⎞
                                                S ⎜ ,0 ⎟
                                                  ⎝2 ⎠
                                                                          β
                              0                                1
                        −1
                                                                   f 2 (β )
                                              Рис. 6.6.
Вначале для каждого β ∈ [0,1] найдём
                                  min ( 2β − 1, 1 − 2β ).
                                  i ∈{1, 2}




                                                                              51