Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 52 стр.

    На рис.6.6 такие минимумы для каждого β ∈ [0,1] образуютт
ломаную – верхнюю огибающую RST. Затем на огибающей
находим наименьшее значение, которое достигается в точке S.
Эта точка появляется при β ∈ [0,1] , которое является решением

уравнения f1 = f 2 , т.е. 2 β - 1 = 1 - 2 β . Здесь β = 1 2 . Вторая

                                                          1
координата точки S будет 2 ⋅ 1 2 − 1 = 0. Итак S( ,0). В смешанном
                                                          2
расширении данной игры
                     min ( max ( 2β − 1, 1 − 2β )) = 0.
                     0 ≤ β ≤1 i ∈{1, 2}

Минимаксная стратегия второго игрока yB = (b, 1- b) = (1/2, 1/2).
     В примере выполнены условия утверждения 4.2. В самом
деле, минимакс и максимин существуют и выполнено равенство
                         ν B = ν Н = 0.
Значит цена игры ν * = 0 и седловая точка (x*, y*) = ((1/2, 1/2),
(1/2, 1/2)).
      В итоговой проверке следует продемонстрировать
выполнение равенства                ( x *)T A ( y *) = v * . В данном примере
получаем

                                   ⎛ 1 − 1 ⎞ ⎛⎜ 1 2 ⎞⎟
                   ( 1 2 , 1 2) ⋅ ⎜⎜       ⎟⎟ ⋅        = 0.
                                   ⎝ − 1 1 ⎠ ⎜⎝ 1 2 ⎟⎠
Это верное равенство.
    Ответ : (x*, y*) = ((1/2, 1/2), (1/2, 1/2)), ν * = 0 .

    В последнем примере в силу симметрии матрицы выигрыша
игроки находятся в равных условиях. Поэтому следует ожидать
равные выигрыши в этой антагонистической игре. Но в такой
игре выигрыши отличаются знаком. Поэтому для цены игры
может быть только одна возможность - ν * = 0. Такой же
результат получен графоаналитическим методом. Имеется

                                                                          52