Конечные бескоалиционные игры и равновесия. Матвеев В.А. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

47
.
4
7
))5 ,(max(min
},,{
=−ββ−
∈
≤β≤
234
321
10
i
Определим и минимаксную стратегию второго игрока. Это
y
В
=
).
4
1
,
4
3
(
По аналогичной схеме найдём максиминную стратегию
первого игрока. Его стратегию обозначим
.10 ),0 ,1 ,(
≤
≤
−=
α
α
α
x
Третья компонента вектора x равна
0, т.к. минимаксная стратегия второго игрока определяется
первым и вторым строками матрицы А. В этом случае в
максиминной стратегии третья компонента равна 0.
Вычислим
) , ,( =
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−α−α=
5
2
4
0
3
1
01xA
) ,())(- ,)((26235012400131
−
α
α
−
=
⋅
+
α
−
α
⋅
+
α−+α=
.
Обозначим
,23)(
1
αα
−=f
26)(
2
−=
αα
f
.
Найдём
()
=αα
∈
≤α≤
) ),((minmax
},{
21
21
10
ff
i
)).,6 ,(min(max
},{i
223
21
10
−αα−
∈
≤α≤
Для нахождения максимина приведём геометрическую
иллюстрацию на рис.6.4.
Вначале для каждого
]1,0[
∈
α
найдём
2).-6 ,(min
},{
αα−
∈
23
21i
                  min ( max ( 4 − 3β, 5β − 2 )) = 7 .
                    0 ≤ β ≤1 i ∈{1, 2,3}           4
       Определим и минимаксную стратегию второго игрока. Это
yВ =   ( 3 , 1 ).
          4 4
     По аналогичной схеме найдём максиминную стратегию
первого          игрока.       Его     стратегию       обозначим
x = (α , 1 − α , 0), 0 ≤ α ≤ 1. Третья компонента вектора x равна
0, т.к. минимаксная стратегия второго игрока определяется
первым и вторым строками матрицы А. В этом случае в
максиминной стратегии третья компонента равна 0.
     Вычислим

                                          ⎛1 4 ⎞
                                          ⎜       ⎟
                      xA = ( α, 1 − α, 0 )⎜ 3 − 2 ⎟ =
                                          ⎜0 5 ⎟
                                          ⎝       ⎠
 = (1α + 3(1 − α ) + 0 ⋅ 0, 4α - 2(1 − α ) + 0 ⋅ 5) = ( 3 − 2α, 6α − 2 ) .

Обозначим
                                    f1 (α ) = 3 − 2α ,
                                    f 2 (α ) = 6α − 2 .
Найдём
                          max min ( f 1 ( α ), f 2 (α )) =
                          0 ≤ α ≤1 i∈{1, 2}

                          max ( min ( 3 − 2α, 6α,−2 )).
                          0 ≤ α ≤1 i∈{1, 2}

Для нахождения максимина приведём                            геометрическую
иллюстрацию на рис.6.4.
    Вначале для каждого α ∈ [0,1] найдём
                                min ( 3 − 2α, 6α - 2).
                               i ∈{1, 2}




                                                                         47

Страницы