Математика. Медведев А.В - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

12 Образует ли линейное пространство множество всех квадратных матриц вида
2
1
0
0
x
x
,
2
1
0
0
y
y
,
2
1
0
0
z
z
, … . Сложение элементов и умножение элементов на действительное число определяется по
правилам проведения линейных операций над матрицами.
13 Образует ли линейное пространство множество всех квадратных матриц вида
2
1
1
1
x
x
,
2
1
1
1
y
y
,
2
1
1
1
z
z
, … . Сложение элементов и умножение элементов на действительное число определяется по
правилам проведения линейных операций над матрицами.
14 Доказать, что множество всех решений системы линейных однородных уравнений
=++
=++
0
,0
222
111
zcybxa
zcybxa
образует линейное пространство.
15 Из линейного пространства исключен вектор x. Может ли полученное после этого исключения
множество векторов являться линейным пространством.
16 Доказать, что если среди векторов x, y, z, ... имеется нуль-вектор, то рассматриваемые векторы
линейно зависимы.
17 Рассматривается линейное пространство многочленов не выше второй степени. Являются ли
векторы Р
1
= 1 + 2t + 3t
2
, Р
2
= 2 + 3t + 4t
2
,
Р
3
= 3 + 5t + 7t
2
линейно зависимыми.
18 Рассматривается линейное пространство многочленов не выше второй степени. Являются ли
векторы Р
1
= 1 + 2t
2
, Р
2
= 1 + 3t, Р
3
= 4 + t линейно зависимыми.
19 Рассматривается линейное пространство квадратных матриц второго порядка. Являются ли век-
торы
=
60
41
1
e
,
−
=
13
10
2
e
,
−
=
02
13
3
e
,
−
=
11
02
4
e
линейно зависимыми.
20 Рассматривается линейное пространство квадратных матриц второго порядка. Являются ли век-
торы
=
32
11
1
e ,
−
=
13
10
2
e ,
=
25
21
3
e ,
=
11
34
4
e линейно зависимыми.
21 Выяснить, будут ли векторы а
1
= (1, 0, 1), а
2
= (1, 1, 2), а
3
= (2, 1, 2) линейно зависимыми или ли-
нейно независимыми.
22 Выяснить, будут ли векторы а
1
= (1, 1, 1, 1), а
2
= (1, 2, 1, 2),
а
3
= (3, 1, 3, 1), а
4
= (0, 1, 0, 1) линейно зависимыми или линейно независимыми.
23 Доказать, что система векторов, содержащая два равных вектора, линейно зависима.
24 Найти все значения λ, при которых вектор b = (7, –2, λ) линейно выражается через векторы а
1
=
(2, 3, 5), а
2
= (3, 7, 8), а
3
= (1, –6, 1).
25 Найти разложение вектора x в базисе векторов p, q, r, если:
а) x = {–2, 4, 7}, p = {0, 1, 2}, q = {1, 0, 1}, r = {–1, 2, 4};
б) x = {6, 12, –1}, p = {1, 3, 0}, q = {2, –1, 1}, r = {0, –1, 2};
в) x = {1, –4, 4}, p = {2, 1, –1}, q = {0, 3, 2}, r = {1, –1, 1};
г) x = {–9, 5, 5}, p = {4, 1, 1}, q = {2, 0, –3}, r = {–1, 2, 1}.
26 Рассматривается линейное пространство многочленов не выше второй степени. Найти коорди-
наты многочлена Р = 8 + 2t + 6t
2
в базисе
Р
1
= 1 + t + t
2
, Р
2
= 1 + t, Р
3
= 1.
27 Рассматривается линейное пространство многочленов не выше третьей степени. Найти коорди-
наты многочлена Р = 4 – 3t + 3t
2
+ t
3
в базисе Р
1
= 1 + t + t
2
+ t
3
, Р
2
= 1 + t + t
2
, Р
3
= 1 + t, Р
4
= 1.
28 Рассматривается линейное пространство квадратных матриц второго порядка. Найти координа-
ты матрицы
−
=
812
41
e
в базисе
=
10
00
1
e ,
=
11
00
2
e ,
=
11
10
3
e ,
=
11
11
4
e .
29 Рассматривается линейное пространство квадратных матриц второго порядка. Найти координа-
ты матрицы
−
=
1420
73
e
в базисе
−
=
60
12
1
e
,
−
=
21
10
2
e
,
=
02
21
3
e
,
−
=
14
02
4
e
.
30 Выяснить, какие из преобразований (операторов) Аx являются линейными и для линейных пре-
образований векторов x = (x
1
, x
2
, x
3
) найти их матрицу:
а) Аx = (x
2
+ x
3
, 2x
1
+ x
3
, 3x
1
– x
2
+ x
3
); б) Аx = (x
1
, x
2
+ 1, x
3
+ 1).
31 Будут ли линейными операторами в пространстве всех многочленов от t:

Страницы