Математика. Медведев А.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

12 Векторы a и b образуют угол
3
π
=ϕ
; зная, что |a| = 3 и |b| = 4,
вычислить:
1) ab; 2) a
2
; 3) b
2
; 4) (a + b)
2
; 5) (3a + 2b)(a – b); 6) (a – b)
2
.
13 Векторы a и b образуют угол
3
2π
=ϕ
; зная, что |a| = 5 и |b| = 3,
вычислить:
1) ab; 2) a
2
; 3) b
2
; 4) (a + b)
2
; 5) (3a + 2b)(a – b); 6) (a – b)
2
.
14 Даны векторы a = {4, –2, –4} и b = {6, –3, 2}. Вычислить:
1) ab; 2)
2
a ; 3)
2
b ; 4) (2a – 3b)(а + b); 5) (a + b)
2
.
15 Даны векторы a = {2, 4, 4} и b = {2, –6, 3}. Вычислить:
1) ab; 2)
2
a ; 3)
2
b ; 4) (3a + 2b)(а – b); 5) (a – b)
2
.
16 Даны вершины четырехугольника А(1, –2, 2), В(1, 4, 0), С(–4, 1, 1) и D(–5, –5, 3). Доказать, что
его диагонали АС и ВD взаимно перпендикулярны.
17 Вычислить проекцию вектора a = {5, 2, 5} на ось вектора
b = {2, –1, 2} и найти косинус угла между этими векторами.
18 Вычислить проекцию вектора a = {6, 3, 2} на ось вектора
b = {2, 2, 1} и найти косинус угла между этими векторами.
19 Даны вершины А(–1, –2, 4), В(–4, –2, 0) и С(3, –2, 1) треугольника. Определить его внутренний
угол при вершине В.
20 Даны три вектора a = {2, –1, –3}, b = {1, –3, 2} и с = {3, –4, 12}. Найти вектор x, удовлетворяю-
щий условиям: xa = –5, xb = –11, xc = 20.
21 Определить и построить вектор c = a × b, если:
1) a = 3i, b = 2k; 2) a = i + j, b = i – j; 3) a = 2i + 3j, b = 3j + 2k.
22 Раскрыть скобки и упростить выражения:
1) i × (j + k) – j × (i + k) + k × (i + j + k);
2) (a + b + c) × c + (a + b + c) × b + (b – c) × a;
3) (2a + b) × (c – a) + (b + c) × (a + b);
4) 2i ⋅ (j × k) + 3j ⋅ (i × k)+ 4k ⋅ (i × j).
23 Векторы a и b образуют угол
3
2π
=ϕ
; зная, что |a| = 1 и |b| = 2,
вычислить:
1) |a × b|
2
; 2) |(3a + 2b) × (a – b)|
2
; 3) |(a + 3b) × (3a – b)|
2
.
24 Даны векторы a = {3, –1, –2} и b = {1, –2, –1}. Вычислить:
1) a × b; 2) (2a + b) × b; 3) (3a + 2b) × (а – b).
25 Даны векторы a = {1, 1, –3} и b = {3, 2, 0}. Вычислить:
1) a × b; 2) (a + 3b) × b; 3) (a + 2b) × (а – 3b).
26 Построить параллелограмм на векторах a = 2j + k и b = i + 2k и вычислить его площадь и высоту.
27 Даны вершины А(1, –2, 8), В(0, 0, 4) и С(6, 2, 0) треугольника. Вычислить его площадь и длину
высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.
28 Даны вершины А(1, –1, 2), В(5, –6, 2) и С(1, 3, –1) треугольника. Вычислить его площадь и длину
высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.
29 С помощью векторного произведения выяснить, коллинеарны ли векторы a = {1, 0, 3} и b = {2, 0,
6}.
30 Векторы a, b и с, образующую правую тройку, взаимно перпендикулярны. Зная, что |a| = 4, |b| = 2
и |с| = 3, вычислить abс.
31 Вектор с перпендикулярен к векторам a и b, угол между векторами a и b равен 30°. Зная, что |a| =
6, |b| = 3 и |с| = 3, вычислить abс.
32 Даны три вектора a = {0, 1, –3}, b = {3, 2, 1}, с = {1, 3, 2}. Вычислить abс.
33 Установить, компланарны ли векторы:

Страницы