Асимптотические оценки. Мицик М.Ф. - 6 стр.

             f (x )                           ,                                                                [0;+∞ )                               -
                                                                                    x = 0.
                                                                               .
                            S ( x ) = − x,                                            S (0) = 0, S ′( x) = −1.                             ,
                                                                       [0;1],                (1)                   :
         1
                                         1                  1   f (0)     1 
         ∫ f (x) e dx =                          f (0) + O   =          2 
                  − px
                                                                          + O
         0
                                      − p(− 1)             
                                                              p      p       p 
                 f (x )                           ,          ∃B > 0 : f ( x ) ≤ B ,                     x ∈ [0,+∞) .
    ∞                              ∞                                  ∞
                                                                                                  e − px      ∞    Be − p      1            
    ∫   f (x ) e   − px
                          dx ≤ ∫ f ( x ) e            − px
                                                             dx ≤ B ∫ e            − px
                                                                                          dx = B              |  =      = o 2            .
    1                              1                                   1                          p            1     p        p              
                                                                                      f (0 )
                                                  ∞
                                                                                                  1 
                              ,    F ( p ) = ∫ f ( x ) e − px dx =                           + O 2 .
                                                  0
                                                                                        p        p 
                                                                                                   .
                      2.                                             f (x )                                            ,        S (x ) −
                                                                                            [a;b].                          S (x)
                                                                               x = a, (S ′( x ) ≤ 0).                       ,
S ′(a ) = 0,                      S ′′(a ) < 0,
                                 e λS ( a )                 2π                     1 
b

∫   f (x ) e     λ S (x )
                            dx =                      −               f (a ) + O     ,                               λ → ∞.
a
                                    2                     λ S ′′(a )               λ 
                                                                                                        ∞

                 6.                                                                       Γ( x + 1) = ∫ t x e −t dt
                                                                                                           0

                                                                                               x → +∞ .
                                                                                                                                    t,
                                         t = xy .
∞                      ∞                                                ∞                                       ∞

∫t e
        x −t
               dt = ∫ ( xy ) e d ( xy ) = x ⋅ x ∫ y e dy = x ⋅ x ∫ e − x (ln y − y )dy
                                       − xy                                         x − xy
                                  x                              x                                     x

0                      0                                                   0                                     0

                                              S ( y ) = ln y − y ,                         S ′( y ) = 1 y − 1, S ′(1) = 0;
S (1) = 0, S ′′( y ) = − 1 y 2 , S ′′(1) = −1.
                              ,                       S ( y) ≤ 0                    y>0                                    y > 1.