Линейная алгебра. Михайлов А.Б - 10 стр.

UptoLike

- 10 -
ssss
s
s
s
s
jijiji
jijiji
jijiji
ii
jj
aaa
aaa
aaa
M
...
............
...
...
21
22212
12111
1
1
...
...
= .
Каждая матрица имеет столько миноров данного порядка
s
, сколькими
способами можно выбрать номера строк
s
iii ...,,,
21
и столбцов
s
jjj ,...,,
21
.
Определение
. В матрице
A
размеров
nm
×
минор порядка
s
называется
базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка
1+
s
равны нулю
или миноров порядка
1+
s
у матрицы
A
вообще нет.
Ясно, что в матрице может быть несколько разных базисных миноров, но
все базисные миноры имеют один и тот же порядок. Действительно, если все
миноры порядка
1+
s
равны нулю, то равны нулю и все миноры порядка 2
+
s
,
а, следовательно, и всех бόльших порядков.
Определение
. Рангом матрицы называется порядок базисного минора,
или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют отличные от ну-
ля миноры. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг такой матрицы, по
определению, считают нулем.
Ранг матрицы
A
будем обозначать символом )(
A
r
. Из определения ран-
га следует, что для матрицы
A
размеров
nm
×
справедливо соотношение
),min()(0 nm
A
r
.
ДВА СПОСОБА ВЫЧИСЛЕНИЯ РАНГА МАТРИЦЫ
а) Метод окаймляющих миноров
Пусть в матрице найден минор
M
k
-го порядка, отличный от нуля. Рас-
смотрим лишь те миноры
)1(
+
-го порядка, которые содержат в себе (окайм-
ляют) минор
M
: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен
. В про-
тивном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор
)1( +
-го порядка, и вся процедура повторяется.
Пример 9
. Найти ранг матрицы
A
методом окаймляющих миноров.
.
773
452
321
=A
Выберем минор второго порядка
0
52
21
2
=M . Существует только один
минор третьего порядка, окаймляющий выбранный минор
2
M . Вычислим его.
                                                    - 10 -

                                           ai1 j1      ai1 j 2   ... ai1 j s
                           i1 ...i s
                                           ai2 j1      ai2 j 2   ... ai2 j s
                       M    j1 ... j s =                                       .
                                            ...          ...     ... ...
                                           ais j1      ais j 2   ... ais j s
       Каждая матрица имеет столько миноров данного порядка s , сколькими
способами можно выбрать номера строк i1 , i2 , ..., is и столбцов j1 , j2 ,..., js .
       Определение. В матрице A размеров m × n минор порядка s называется
базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка s + 1 равны нулю
или миноров порядка s + 1 у матрицы A вообще нет.
       Ясно, что в матрице может быть несколько разных базисных миноров, но
все базисные миноры имеют один и тот же порядок. Действительно, если все
миноры порядка s + 1 равны нулю, то равны нулю и все миноры порядка s + 2 ,
а, следовательно, и всех бόльших порядков.
       Определение. Рангом матрицы называется порядок базисного минора,
или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют отличные от ну-
ля миноры. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг такой матрицы, по
определению, считают нулем.
       Ранг матрицы A будем обозначать символом r ( A) . Из определения ран-
га следует, что для матрицы A размеров m × n справедливо соотношение
0 ≤ r ( A) ≤ min(m, n) .

           ДВА СПОСОБА ВЫЧИСЛЕНИЯ РАНГА МАТРИЦЫ
                        а) Метод окаймляющих миноров

      Пусть в матрице найден минор M k -го порядка, отличный от нуля. Рас-
смотрим лишь те миноры ( k + 1) -го порядка, которые содержат в себе (окайм-
ляют) минор M : если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k . В про-
тивном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор
(k + 1) -го порядка, и вся процедура повторяется.
Пример 9. Найти ранг матрицы A методом окаймляющих миноров.
                                    ⎛−1 2 3 ⎞
                                    ⎜         ⎟
                                A = ⎜ − 2 5 4 ⎟.
                                    ⎜− 3 7 7⎟
                                    ⎝         ⎠
                                                         −1 2
Выберем минор второго порядка M 2 =                                ≠ 0 . Существует только один
                                                         −2 5
минор третьего порядка, окаймляющий выбранный минор M 2 . Вычислим его.