ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
- 10 -
ssss
s
s
s
s
jijiji
jijiji
jijiji
ii
jj
aaa
aaa
aaa
M
...
............
...
...
21
22212
12111
1
1
...
...
= .
Каждая матрица имеет столько миноров данного порядка
s
, сколькими
способами можно выбрать номера строк
s
iii ...,,,
21
и столбцов
s
jjj ,...,,
21
.
Определение
. В матрице
A
размеров
nm
×
минор порядка
s
называется
базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка
1+
s
равны нулю
или миноров порядка
1+
s
у матрицы
A
вообще нет.
Ясно, что в матрице может быть несколько разных базисных миноров, но
все базисные миноры имеют один и тот же порядок. Действительно, если все
миноры порядка
1+
s
равны нулю, то равны нулю и все миноры порядка 2
+
s
,
а, следовательно, и всех бόльших порядков.
Определение
. Рангом матрицы называется порядок базисного минора,
или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют отличные от ну-
ля миноры. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг такой матрицы, по
определению, считают нулем.
Ранг матрицы
A
будем обозначать символом )(
A
r
. Из определения ран-
га следует, что для матрицы
A
размеров
nm
×
справедливо соотношение
),min()(0 nm
A
r
≤≤ .
ДВА СПОСОБА ВЫЧИСЛЕНИЯ РАНГА МАТРИЦЫ
а) Метод окаймляющих миноров
Пусть в матрице найден минор
M
k
-го порядка, отличный от нуля. Рас-
смотрим лишь те миноры
)1(
+
k
-го порядка, которые содержат в себе (окайм-
ляют) минор
M
: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен
k
. В про-
тивном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор
)1( +
k
-го порядка, и вся процедура повторяется.
Пример 9
. Найти ранг матрицы
A
методом окаймляющих миноров.
.
773
452
321
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=A
Выберем минор второго порядка
0
52
21
2
≠
−
−
=M . Существует только один
минор третьего порядка, окаймляющий выбранный минор
2
M . Вычислим его.
- 10 - ai1 j1 ai1 j 2 ... ai1 j s i1 ...i s ai2 j1 ai2 j 2 ... ai2 j s M j1 ... j s = . ... ... ... ... ais j1 ais j 2 ... ais j s Каждая матрица имеет столько миноров данного порядка s , сколькими способами можно выбрать номера строк i1 , i2 , ..., is и столбцов j1 , j2 ,..., js . Определение. В матрице A размеров m × n минор порядка s называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка s + 1 равны нулю или миноров порядка s + 1 у матрицы A вообще нет. Ясно, что в матрице может быть несколько разных базисных миноров, но все базисные миноры имеют один и тот же порядок. Действительно, если все миноры порядка s + 1 равны нулю, то равны нулю и все миноры порядка s + 2 , а, следовательно, и всех бόльших порядков. Определение. Рангом матрицы называется порядок базисного минора, или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют отличные от ну- ля миноры. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг такой матрицы, по определению, считают нулем. Ранг матрицы A будем обозначать символом r ( A) . Из определения ран- га следует, что для матрицы A размеров m × n справедливо соотношение 0 ≤ r ( A) ≤ min(m, n) . ДВА СПОСОБА ВЫЧИСЛЕНИЯ РАНГА МАТРИЦЫ а) Метод окаймляющих миноров Пусть в матрице найден минор M k -го порядка, отличный от нуля. Рас- смотрим лишь те миноры ( k + 1) -го порядка, которые содержат в себе (окайм- ляют) минор M : если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k . В про- тивном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор (k + 1) -го порядка, и вся процедура повторяется. Пример 9. Найти ранг матрицы A методом окаймляющих миноров. ⎛−1 2 3 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ − 2 5 4 ⎟. ⎜− 3 7 7⎟ ⎝ ⎠ −1 2 Выберем минор второго порядка M 2 = ≠ 0 . Существует только один −2 5 минор третьего порядка, окаймляющий выбранный минор M 2 . Вычислим его.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »