Линейная алгебра. Михайлов А.Б - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

- 9 -
0)00(
00
11
)1(
21
12
=−−=−=
+
A , 0)00(
00
31
)1(
22
22
=−=−=
+
A ,
,101
10
21
)1(
31
13
−=−−=
−
−=
+
A
,1)01(
10
21
)1(
32
23
=−−−=
−
−=
+
A
,462
12
32
)1(
13
31
−=−=−=
+
A ,2)31(
11
31
)1(
23
32
=−−=−=
+
A
.022
21
21
)1(
33
33
=−=−=
+
A
Подставляя полученные значения алгебраических дополнений и определителя
матрицы в формулу (4), получаем
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−=
−
0
2
1
2
1
100
2
2
3
2
1
011
200
431
2
1
1
A
.
Сделаем проверку:
.
100
010
001
010
121
321
011
200
431
2
1
1
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⋅
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−=⋅
−
AA
Следовательно, обратная матрица найдена верно.
РАНГ МАТРИЦЫ
Ранее для квадратной матрицы
)(
ij
aA
=
n
-го порядка было введено по-
нятие минора
ij
M элемента
ij
a . Напомним, что так был назван определитель
порядка
1−n , полученный из определителя
|
|
A
вычеркиванием i -й строки и
j -го столбца.
Введем теперь общее понятие минора. Рассмотрим некоторую, не обяза-
тельно квадратную матрицу
A
. Выберем какие-нибудь
s
номеров строк
s
iii ...,,,
21
и
s
номеров столбцов
s
jjj ,...,,
21
.
Определение
. Минором порядка
s
матрицы
A
(соответствующим вы-
бранным строкам и столбцам) называется определитель порядка
s
, образован-
ный элементами, стоящими на пересечении выбранных строк и столбцов, т.е.
число 
                                            -9-

                 1 1                                        1 3
A12 = (−1)1+ 2          = −(0 − 0) = 0 , A22 = (−1) 2 + 2  = ( 0 − 0) = 0 ,
                 0 0                                   0 0
                1 2                                   1 2
A13 = (−1)1+ 3        = −1 − 0 = −1, A23 = (−1) 2 + 3      = −(−1 − 0) = 1,
                 0 −1                                 0 −1
                 2 3                                 1 3
A31 = (−1)3 +1        = 2 − 6 = −4, A32 = (−1)3 + 2      = −(1 − 3) = 2,
                 2 1                                 1 1
                 1 2
A33 = (−1) 3 + 3      = 2 − 2 = 0.
                 1 2
Подставляя полученные значения алгебраических дополнений и определителя
матрицы в формулу (4), получаем
                                       ⎛ 1   3    ⎞
                                       ⎜ − −    2⎟
                            ⎛ 1 3−4 ⎞ ⎜ 2    2    ⎟
                           1⎜       ⎟
                 A −1   = − ⎜ 0 0 2⎟ = ⎜ 0   0 −1 ⎟.
                           2⎜       ⎟ ⎜           ⎟
                            ⎝−1 1 0 ⎠ ⎜ 1 − 1 0⎟
                                       ⎝ 2   2    ⎠
Сделаем проверку:
                             ⎛ 1 3 − 4 ⎞ ⎛1 2 3 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞
                            1⎜         ⎟ ⎜         ⎟ ⎜      ⎟
                 A−1 ⋅ A = − ⎜ 0 0 2 ⎟ ⋅ ⎜1 2 1 ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟.
                            2⎜         ⎟ ⎜         ⎟ ⎜      ⎟
                             ⎝ − 1 1 0 ⎠ ⎝ 0 − 1 0 ⎠ ⎝ 0 0 1⎠
Следовательно, обратная матрица найдена верно.

                                   РАНГ МАТРИЦЫ

     Ранее для квадратной матрицы A = ( aij ) n -го порядка было введено по-
нятие минора M ij элемента aij . Напомним, что так был назван определитель
порядка n − 1, полученный из определителя | A | вычеркиванием i -й строки и
 j -го столбца.
           Введем теперь общее понятие минора. Рассмотрим некоторую, не обяза-
тельно квадратную матрицу A . Выберем какие-нибудь s номеров строк
i1 , i2 , ..., is и s номеров столбцов j1 , j2 ,..., js .
           Определение. Минором порядка s матрицы A (соответствующим вы-
бранным строкам и столбцам) называется определитель порядка s , образован-
ный элементами, стоящими на пересечении выбранных строк и столбцов, т.е.
число

Страницы