Линейная алгебра. Михайлов А.Б - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

- 11 -
.02828454224357)2(2)1(74)3(53
)2(73)3(4275)1(
773
452
321
3
=+++−−−=⋅−⋅−−⋅⋅−−⋅⋅−
−−⋅⋅+−⋅⋅+⋅⋅−=
−
−
−
=
M
Значит, минор
2
M базисный, а ранг матрицы равен его порядку, т.е. .2)(
=
A
r
Ясно, что перебирать таким способом миноры в поисках базисного – за-
дача, связанная с большими вычислениями, если размеры матрицы не очень
малы. Существует, однако, более простой способ нахождения ранга матрицы –
при помощи элементарных преобразований.
б) Метод элементарных преобразований
Определение
. Элементарными преобразованиями матрицы называют
следующие преобразования:
1) умножение строки на число, отличное от нуля;
2) прибавление к одной строке другой строки;
3) перестановку строк;
4) такие же преобразования столбцов.
Преобразования 1 и 2 выполняются поэлементно.
Комбинируя преобразования первого и второго вида, мы можем к любой
строке прибавить линейную комбинацию остальных строк.
Теорема
. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.
(Без доказательства)
Идея практического метода вычисления ранга матрицы
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
заключается в том, что с помощью элементарных преобразований данную мат-
рицу
A
приводят к виду
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
+
+
+
0...00...00
.....................
0...00...00
......00
.....................
......0
......
1,
21,2222
11,111211
nrrrrr
nrr
nrr
bbb
bbbb
bbbbb
B
, (5)
в котором «диагональные» элементы
r
r
bbb ...,,,
2211
отличны от нуля, а элемен-
ты, расположенные ниже «диагональных», равны нулю. Условимся называть 
                                         - 11 -

       −1 2 3
M 3 = − 2 5 4 = ( −1) ⋅ 5 ⋅ 7 + 2 ⋅ 4 ⋅ (−3) + 3 ⋅ 7 ⋅ (−2) −
       −3 7 7
− 3 ⋅ 5 ⋅ (−3) − 4 ⋅ 7 ⋅ (−1) − 2 ⋅ (−2) ⋅ 7 = −35 − 24 − 42 + 45 + 28 + 28 = 0.
Значит, минор M 2 базисный, а ранг матрицы равен его порядку, т.е. r ( A) = 2.
      Ясно, что перебирать таким способом миноры в поисках базисного – за-
дача, связанная с большими вычислениями, если размеры матрицы не очень
малы. Существует, однако, более простой способ нахождения ранга матрицы –
при помощи элементарных преобразований.
                  б) Метод элементарных преобразований
      Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называют
следующие преобразования:
1) умножение строки на число, отличное от нуля;
2) прибавление к одной строке другой строки;
3) перестановку строк;
4) такие же преобразования столбцов.
      Преобразования 1 и 2 выполняются поэлементно.
      Комбинируя преобразования первого и второго вида, мы можем к любой
строке прибавить линейную комбинацию остальных строк.
Теорема. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.
                              (Без доказательства)

          Идея практического метода вычисления ранга матрицы
                                   ⎛ a11     a12    ...   a1n ⎞
                                   ⎜                            ⎟
                                   ⎜a        a 22   ...   a2n ⎟
                               A = ⎜ 21
                                       ...    ...   ...    ... ⎟
                                   ⎜⎜                           ⎟
                                    ⎝ a m1   am 2   ...   a mn ⎟⎠
заключается в том, что с помощью элементарных преобразований данную мат-
рицу A приводят к виду
                      ⎛b     b12 ... b1r b1, r + 1 ... b1n ⎞
                      ⎜ 11                                      ⎟
                      ⎜ 0 b22 ... b 2 r b2 , r + 1 ... b2 n ⎟
                      ⎜ ...   ... ... ...       ...     ... ... ⎟
                      ⎜                                         ⎟,           (5)
                  B=⎜ 0        0 ... brr br , r + 1 ... br n ⎟
                      ⎜ 0      0 ...   0         0      ...  0 ⎟
                      ⎜                                         ⎟
                      ⎜ ...   ... ... ...       ...     ... ... ⎟
                      ⎜                                         ⎟
                      ⎝ 0      0 ...   0         0      ...  0 ⎠
в котором «диагональные» элементы b11 , b22 , ..., brr отличны от нуля, а элемен-
ты, расположенные ниже «диагональных», равны нулю. Условимся называть

Страницы