Линейная алгебра. Михайлов А.Б - 12 стр.

                                         - 12 -
матрицу B такого вида треугольной (иначе, ее называют диагональной, трапе-
циевидной или лестничной). После приведения матрицы A к треугольному ви-
ду можно сразу записать, что r ( A) = r .
      В самом деле, r ( A) = r ( B ) (т.к. элементарные преобразования не меняют
ранга). Но у матрицы B существует отличный от нуля минор порядка r :
                   b11    b12     ... b1r
                    0     b22     ... b2 r
                                    = b11 ⋅ b22 ⋅ ... ⋅ brr ≠ 0 ,
                    ... ... ... ...
                     0   0 ... brr
а любой минор порядка r + 1 содержит нулевую строку и поэтому равен нулю.
     Сформулируем теперь практическое правило вычисления ранга матрицы
A с помощью элементарных преобразований: для нахождения ранга матрицы
A следует с помощью элементарных преобразований привести ее к треуголь-
ному виду B . Тогда ранг матрицы A будет равен числу ненулевых строк в по-
лученной матрице B .
Пример 10. Найти ранг матрицы A методом элементарных преобразований
                                  ⎛ 2 −5 8 5 ⎞
                                  ⎜               ⎟
                                  ⎜  1 − 2  3   4 ⎟
                                A=⎜                 .
                                     −1 2 − 3 − 4 ⎟
                                  ⎜⎜              ⎟⎟
                                  ⎝ 3 − 7 11 9 ⎠
Решение.
Поменяем местами первую и вторую строку (т.к. первый элемент второй строки
−1 и с ней будет удобно выполнять преобразования). В результате получим
матрицу, эквивалентную данной.
                             ⎛ 1 −2 3 4 ⎞
                             ⎜               ⎟
                             ⎜  2  − 5 8   5 ⎟
                           A=⎜                 .
                                −1 2 − 3 − 4 ⎟
                             ⎜⎜              ⎟⎟
                             ⎝ 3 − 7 11 9 ⎠
Обозначим i -тую строку матрицы – Ci . Нам необходимо привести исходную
матрицу к треугольному виду. Первую строку будем считать ведущей, она бу-
дет участвовать во всех преобразованиях, но сама остается без изменений.
 На первом этапе выполним преобразования, позволяющие получить в первом
столбце нули, кроме первого элемента. Для этого из второй строки вычтем пер-
вую, умноженную на 2 (C2 − 2C1 ) , к третьей строке прибавим пер-
вую (C3 + C1 ) , а из третьей вычтем первую, умноженную на 3 (C3 − 3C1 ). По-
лучаем матрицу, ранг которой совпадает с рангом данной матрицы. Обозначим
ее той же буквой A :