Линейная алгебра. Михайлов А.Б - 13 стр.

                                           - 13 -

                                 ⎛ 1 − 2 3 4⎞
                                ⎜              ⎟
                                ⎜  0 − 1 2 − 3 ⎟
                              A=⎜                 .
                                   0 0 0 0⎟
                                ⎜⎜             ⎟⎟
                                 ⎝ 0 − 1 2 − 3  ⎠
Так как нам необходимо привести матрицу к виду (5), вычтем из четвертой
строки вторую. При этом имеем:
                            ⎛        1     −2         3   4⎞
                            ⎜                              ⎟
                            ⎜        0      −1        2 − 3⎟
                          A=⎜
                                     0        0       0 0⎟.
                            ⎜⎜                             ⎟⎟
                            ⎝        0        0       0 0⎠
Получена матрица треугольного вида, и можно сделать вывод, что r ( A) = 2 , т.
е. числу ненулевых строк. Коротко решение задачи можно записать следующим
образом:
  ⎛ 2 −5 8 5 ⎞               ⎛ 1 −2 3 4 ⎞
  ⎜                ⎟         ⎜                ⎟
  ⎜  1 − 2  3   4  ⎟ C1 ×C 2 ⎜  2  − 5 8   5  ⎟ C 2 − 2C1 , C3 + C1 , C3 − 3C1
A=⎜                   ⎯⎯ ⎯  →⎜ − 1 2 − 3 − 4 ⎟ ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→
     −1 2 − 3 − 4 ⎟
  ⎜⎜               ⎟⎟        ⎜⎜               ⎟⎟
   ⎝ 3 − 7  11   9  ⎠         ⎝ 3 −  7 11   9  ⎠

⎛ 1 − 2 3 4⎞              ⎛ 1 − 2 3 4⎞
⎜              ⎟          ⎜              ⎟
⎜  0 − 1 2 − 3 ⎟ C 4 −C 2 ⎜  0 − 1 2 − 3 ⎟
⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎯⎯ ⎯      ⎯→⎜
                             0 0 0 0⎟
                                           .
⎜⎜             ⎟⎟         ⎜⎜             ⎟⎟
⎝ 0 −1 2 − 3⎠             ⎝ 0 0 0 0⎠

      СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

       Общие понятия. Линейным (относительно неизвестных x1 , x2 , ..., xn ) на-
зывают алгебраическое уравнение первой степени, т.е. уравнение вида
a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b , где a1 , ..., an , b – числа. Система m линейных
уравнений с n неизвестными имеет вид
                        ⎧a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
                        ⎪a x + a x + ... + a x = b
                        ⎪ 21 1 22 2                       2n n        2
                        ⎨                                                   (6)
                        ⎪...............................................
                        ⎪⎩am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm