Линейная алгебра. Михайлов А.Б - 15 стр.

                                          - 15 -
решений: значения x = C , y = 1 − C при любом действительном значении C
удовлетворяют данной системе.
      Рассмотренные примеры систем линейных уравнений показывают, что,
вообще говоря, система может либо вовсе не иметь решений, либо иметь един-
ственное решение, либо иметь их несколько (в последнем случае, оказывается,
система всегда имеет бесконечное множество решений).
      Определение. Система линейных уравнений, не имеющая ни одного ре-
шения, называется несовместной. Система, обладающая хотя бы одним реше-
нием, называется совместной.
      Относительно каждой системы линейных уравнений могут быть постав-
лены следующие вопросы:
1) Совместна заданная система или нет?
2) В случае, если система совместна, как определить, сколько она имеет реше-
   ний – одно или несколько?
3) Как найти все решения системы?
      Ответ на все эти вопросы дает теория систем линейных уравнений.
      Правило Крамера. Ограничимся сначала рассмотрением систем, у кото-
рых число уравнений равно числу неизвестных (такие системы называют квад-
ратными).
      Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:
                      ⎧a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
                      ⎪a x + a x + ... + a x = b
                      ⎪ 21 1 22 2                       2n n        2
                      ⎨                                                  (8)
                      ⎪...............................................
                      ⎪⎩an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = bn
Определитель
                             a11 a12               ... a1n
                             a    a22              ... a2 n
                          Δ = 21                            ,
                              ... ...              ... ...
                             an1 an 2              ... ann
составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем
системы (8).
Теорема. Если определитель Δ квадратной системы (6) отличен от нуля, то
эта система имеет единственное решение. Это решение может быть найде-
но по формулам
                             Δ1       Δ2            Δ
                      x1 =      ,    x2 =, ..., xn = n ,
                             Δ        Δ              Δ
где Δ k – определитель, получаемый из определителя Δ заменой k -го столбца
на столбец свободных членов.
                           (Без доказательства)
     Формулы для неизвестных носят название формул Крамера.