Линейная алгебра. Михайлов А.Б - 17 стр.

                                   - 17 -
Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) реше-
ния систем линейных уравнений. Под элементарными преобразованиями
системы линейных уравнений понимаются следующие операции:
1) умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля;
2) прибавление к одному уравнению другого уравнения;
3) перемена местами уравнений в системе.
      Комбинируя элементарные преобразования первого и второго типов, мы
можем к любому уравнению прибавить другое уравнение, умноженное на про-
извольное число.
      Производя элементарные преобразования в системе, мы получаем новую
систему. Очевидно, что каждому элементарному преобразованию системы со-
ответствуют аналогичные преобразования над строками расширенной матрицы
этой системы и, наоборот, каждому элементарному преобразованию строк рас-
ширенной матрицы соответствует некоторое элементарное преобразование в
системе. Таким образом, элементарные преобразования в системе сводятся к
соответствующим преобразованиям над строками ее расширенной матрицы.
      Определение. Две системы линейных уравнений от одних и тех же неиз-
вестных называются равносильными, если каждое решение одной из них явля-
ется решением другой, и наоборот (или если обе системы несовместны).
      Заметим, что число уравнений в равносильных системах может быть раз-
личным.
Теорема. При элементарных преобразованиях система линейных уравнений пе-
реходит в равносильную систему.
                              (Без доказательства)
      Сущность метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементар-
ных преобразований система уравнений приводится к такому виду, чтобы мат-
рица системы оказалась треугольной. Для упрощения изложения мы будем
иметь дело не с самой системой (6), а с расширенной матрицей этой системы
(производя при этом элементарные преобразования только над строками мат-
рицы).
Пример 15. Решить систему уравнений методом Гаусса
                         ⎧ x1 − 2 x2 + 5 x3 = 11,
                         ⎪
                         ⎨− x1 + 3 x2 − 4 x3 = −7,
                         ⎪ 2 x + 5 x − x = −2.
                         ⎩    1      2     3
Запишем расширенную матрицу системы.
                            ⎛ 1 − 2 5 11⎞
                            ⎜               ⎟
                            ⎜ − 1 3 − 4 − 7 ⎟
                            ⎜ 2 5 −1 − 2 ⎟ .
                            ⎝               ⎠

Нашей целью является приведение матрицы к треугольному виду. Для этого
будем выполнять элементарные преобразования над строками матрицы. Пер-