Линейная алгебра. Михайлов А.Б - 19 стр.

                                    - 19 -
неизвестным можно придавать произвольные значения, тогда оставшиеся r
неизвестных определятся уже единственным образом.
                             (Без доказательства)
Пример 16. Решить систему уравнений методом Гаусса, предварительно ис-
следовав ее на совместность:
                            ⎧2 x − y + z = −2,
                            ⎪
                            ⎨ x + 2 y + 3 z = −1,
                            ⎪ x − 3 y − 2 z = 3.
                            ⎩
Запишем систему уравнений в виде расширенной матрицы:
                            ⎛ 2 −1 1 − 2⎞
                            ⎜            ⎟
                            ⎜ 1  2 3 − 1 ⎟.
                            ⎜ 1 −3−2 3 ⎟
                            ⎝            ⎠
Поменяем местами первую и вторую строки матрицы:
                           ⎛ 1   2 3 −1 ⎞
                           ⎜             ⎟
                           ⎜ 2 − 1 1 − 2 ⎟.
                           ⎜ 1 −3 −2 3 ⎟
                           ⎝             ⎠
Первую строку матрицы будем считать ведущей (первый элемент строки равен
1), она не будет меняться при преобразованиях. Будем стремиться привести
матрицу к треугольному виду. Для того чтобы в первом столбце матрицы полу-
чить нули, выполним следующие преобразования: из второй строки вычтем
первую, умноженную на 2, а от третьей вычтем первую. Получим матрицу,
равносильную данной:
                          ⎛ 1     2    3 − 1⎞
                          ⎜                 ⎟
                          ⎜ 0    − 5 − 5 0 ⎟.
                          ⎜ 0    − 5 − 5 4 ⎟⎠
                          ⎝
Чтобы получить матрицу треугольного вида, необходимо вычесть из третьей
строки вторую. Окончательно получаем:
                          ⎛ 1     2       3 − 1⎞
                          ⎜                    ⎟
                          ⎜ 0    −5      − 5 0 ⎟.
                          ⎜ 0     0       0 4 ⎟⎠
                          ⎝
Ранг расширенной матрицы системы равен 3, ранг основной матрицы системы
равен 2, т.е. r ( A | b) ≠ r ( A) , следовательно, система несовместна.
Пример 17. Решить систему уравнений методом Гаусса, предварительно ис-
следовав ее на совместность: