Линейная алгебра. Михайлов А.Б - 20 стр.

                                     - 20 -

                        ⎧9 x1 − 3 x2 + 5 x3 + 6 x4 = 4,
                        ⎪
                        ⎨6 x1 − 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 = 5,
                        ⎪3 x − x + 3 x + 14 x = −8.
                        ⎩ 1 2           3        4
Запишем систему уравнений в виде расширенной матрицы:
                          ⎛ 9 −3   5 6 4 ⎞
                          ⎜                ⎟
                          ⎜ 6  − 2 3 4  5  ⎟.
                          ⎜ 3 − 1 3 14 − 8 ⎟
                          ⎝                ⎠
Поменяем местами первую и третью строки матрицы:
                         ⎛ 3    − 1 3 14 − 8 ⎞
                         ⎜                   ⎟
                         ⎜ 6    −2 3 4   5 ⎟.
                         ⎜ 9    −3 5 6    4 ⎟⎠
                         ⎝
Будем приводить матрицу к треугольному виду, для этого выполним следую-
щие преобразования: первая строка будет ведущей, а от второй строки вычтем
первую, умноженную на 2, а из третьей вычтем первую, умноженную на 3.
Получим равносильную систему:
                        ⎛ 3    −1  3 14            −8 ⎞
                        ⎜                               ⎟
                        ⎜ 0 0 − 3 − 24              21 ⎟.
                        ⎜ 0 0 − 4 − 36              28 ⎟⎠
                        ⎝
                         ⎛ 1⎞                     ⎛ 1⎞
Умножим вторую строку на ⎜ − ⎟ , третью на        ⎜ − ⎟. При этом получим мат-
                         ⎝ 3⎠                     ⎝ 4⎠
рицу

                        ⎛ 3    −1     3       14 − 8 ⎞
                        ⎜                              ⎟
                        ⎜ 0    0      1       8   − 7 ⎟.
                        ⎜ 0
                        ⎝       0    1        9   − 7 ⎟⎠
Вычтем из третьей строки вторую и получим матрицу треугольного вида.
                        ⎛ 3    −1     3       14 − 8 ⎞
                        ⎜                             ⎟
                        ⎜ 0    0      1       8  − 7 ⎟.
                        ⎜ 0
                        ⎝       0     0       1    0 ⎟⎠
Ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы, т.е.
r ( A | B ) = r ( A) = 3. Сравним ранг матрицы с числом неизвестных системы:
r ( A) = 3 < n = 4 . Согласно теореме о числе решений система имеет бесконеч-
ное множество решений. Найдем их.