Линейная алгебра. Михайлов А.Б - 18 стр.

                                    - 18 -

вую строку выбираем в качестве ведущей (у нее элемент a11 = 1 ). К элементам
первой строки прибавим соответствующие элементы второй строки, а от треть-
ей строки отнимем первую, умноженную на 2. Получим систему, равносильную
данной:
                             ⎛ 1 − 2 5 11 ⎞
                             ⎜               ⎟
                             ⎜ 0  1  1   4   ⎟.
                             ⎜ 0 9 − 11 − 24 ⎟
                             ⎝               ⎠
Вычтем из третьей строки вторую, умноженную на 9:
                            ⎛ 1 − 2 5 11 ⎞
                            ⎜               ⎟
                            ⎜ 0  1  1   4   ⎟.
                            ⎜ 0 0 − 20 − 60 ⎟
                            ⎝               ⎠
Получили систему треугольного вида. Из последней строки матрицы получаем
                                                      − 60
уравнение − 20 x3 = −60, из которого находим x3 =          = 3.
                                                      − 20
Второй строке матрицы соответствует уравнение: x2 + x3 = 4. Подставляя най-
денное значение x3 = 3 в это уравнение, получаем x2 = 4 − x3 = 4 − 3 = 1.
Подставляя в первое уравнение системы x1 − 2 x2 + 5 x3 = 11 значения
x2 = 1, x3 = 3 получаем x1 = 11 + 2 ⋅ 1 − 5 ⋅ 3 = −2.
Ответ: (−2; 1; 3).
Критерий совместности системы линейных уравнений. Рассмотрим снова
произвольную систему m линейных уравнений с n неизвестными, которую за-
пишем, как и раньше, в матричной форме (7).
Очевидно, что ранги матриц A и ( A | b) связаны неравенством
r ( A | b) ≥ r ( A) .
        Вопрос о совместности системы (7) полностью решается следующей тео-
ремой.
Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений
была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой сис-
темы был равен рангу ее расширенной матрицы, т.е. чтобы r ( A | b) = r ( A) .
                             (Без доказательства)
Если совместность системы линейных уравнений установлена, то возникает во-
прос о том, сколько она имеет решений. Ответ о числе решений системы ли-
нейных уравнений дает следующая теорема
        Теорема (о числе решений). Пусть для системы m линейных уравнений с
n неизвестными выполнено условие совместности, т.е. ранг r матрицы сис-
темы равен рангу ее расширенной матрицы. Тогда, если ранг матрицы систе-
мы равен числу неизвестных ( r = n ), то система имеет единственное реше-
ние. Если же ранг матрицы системы меньше числа неизвестных ( r < n ), то
система имеет бесконечное множество решений, а именно: некоторым n − r