Линейная алгебра. Михайлов А.Б - 16 стр.

                                             - 16 -
      Пример 14. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
                                    ⎧ x1 − 2 x2 + x3 = 1,
                                    ⎪
                                    ⎨− x1 + x2 + 3 x3 = 2,
                                    ⎪ 2 x − x = 3.
                                    ⎩     1        3
Вычислим определитель матрицы системы:
          1 −2 1
      Δ = − 1 1 3 = 1 ⋅ 1 ⋅ (−1) + (−2) ⋅ 3 ⋅ 2 + (−1) ⋅ 0 ⋅ 1 − 1 ⋅ 1 ⋅ 2 −
           2  0 −1
                                           − 0 ⋅ 3 ⋅ 1 − (−1) ⋅ (−2) ⋅ (−1) = −13 ≠ 0.
Значит, система имеет единственное решение. Вычислим определители
Δ i , i = 1,2,3. Определитель Δ1 получается из определителя Δ заменой 1-го
столбца столбцом свободных членов.
             1 −2 1
        Δ1 = 2 1 3 = 1 ⋅ 1 ⋅ (−1) + (−2) ⋅ 3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 0 ⋅ 1 − 1 ⋅ 1 ⋅ 3 −
             3 0 −1
                                     − 0 ⋅ 3 ⋅ 1 − 2 ⋅ (−2) ⋅ (−1) = −26.
Определитель Δ 2 получается из определителя Δ заменой 2-го столбца столб-
цом свободных членов.

         1        1 1
   Δ2 = − 1       2 3 = 1 ⋅ 2 ⋅ (−1) + 1 ⋅ 3 ⋅ 2 + 1 ⋅ 3 ⋅ (−1) − 1 ⋅ 2 ⋅ 2 −
        2         3 −1
                                                       − 1 ⋅ 3 ⋅ 3 − 1 ⋅ (−1) ⋅ (−1) = −13.
Заменим в определителе Δ 3-ий столбец столбцом свободных членов и вычис-
лим Δ 3 .
          1 −2            1
    Δ3 = − 1 1           2 = 1 ⋅1 ⋅ 3 + (−2) ⋅ 2 ⋅ 2 − 0 ⋅ ( −1) ⋅1 − 1 ⋅1 ⋅ 2 −
          2 0            3
                                                      − 0 ⋅ 2 ⋅1 − (−1) ⋅ (−2) ⋅ 3 = −13.
Решение системы находим по формулам:
               Δ1 − 26                     Δ 2 − 13                   Δ 3 − 13
        x1 =     =     = 2,         x2 =      =     = 1,       x3 =      =     = 1.
               Δ − 13                      Δ − 13                     Δ − 13
Ответ. (2; 1;1)