Линейная алгебра. Михайлов А.Б - 14 стр.

                                                 - 14 -
В общем случае число уравнений в системе не обязательно совпадает с числом
неизвестных: m может быть меньше, равно или больше числа n .
     Числа aij (вещественные или комплексные) называются коэффициента-
ми системы (6); bi – свободными членами; x1 , x2 , ..., xn – неизвестными.
     Систему (6) можно записать в матричной форме:
                                  A x =b ,                                 (7)

        ⎛ a11      a12    ...   a1n ⎞              ⎛ x1 ⎞          ⎛ b1 ⎞
        ⎜                             ⎟            ⎜ ⎟             ⎜ ⎟
           a       a 22   ...   a2n ⎟              ⎜x ⎟            ⎜b ⎟
где A = ⎜ 21                            ,      x = ⎜ 2 ⎟,      b = ⎜ 2 ⎟.
        ⎜ ...       ...   ...    ... ⎟                 M               M
        ⎜⎜                            ⎟            ⎜⎜ ⎟⎟           ⎜⎜ ⎟⎟
         ⎝ a m1    am 2   ...   a mn ⎟⎠             ⎝ xn ⎠          ⎝ bm ⎠
     Если b1 = b2 = ... = bm = 0 , то система называется однородной, в против-
ном случае она называется неоднородной. Матрицу A называют матрицей
системы (6). Расширенной матрицей системы (6) линейных уравнений назы-
вают матрицу A , к которой добавлен (справа) столбец свободных членов b .
Такую матрицу будем обозначать в дальнейшем символом ( A | b) .
      Определение. Совокупность n чисел                   α1 ,α 2 ,...,α n называется решением
системы     (6),   если     после      замены         неизвестных      x1 , x2 , ..., xn   числами
α1 ,α 2 ,..., α n соответственно каждое из уравнений системы превращается в
верное равенство.
Пример 11. Рассмотрим систему линейных уравнений
                                     ⎧ x + y + z = 1,
                                     ⎨
                                     ⎩2 x + 2 y + 2 z = 3 .
Эта система 2-х уравнений с тремя неизвестными решений не имеет, так как
любая тройка чисел, удовлетворяющая первому уравнению, не может удовле-
творять второму.
Пример 12. Система
                             ⎧ x + y = 1,
                             ⎨
                             ⎩2 x + 7 y = −3
имеет единственное решение x = 2 , y = −1.
Пример 13. Рассмотрим систему линейных уравнений
                                            ⎧ x + y = 1,
                                            ⎪
                                            ⎨2 x + 2 y = 2 ,
                                            ⎪3 x + 3 y = 3 .
                                            ⎩
Пара чисел (1; 0) есть одно из решений этой системы трех уравнений с двумя
неизвестными, ( −1; 2) – другое решение. Эта система имеет бесконечно много