Линейная алгебра. Михайлов А.Б - 8 стр.

                                            -8-

                                       1 ⎛ A11      A21 ⎞
                             A−1 =        ⋅⎜             ⎟.                           (3)
                                     | A | ⎜⎝ A12   A22 ⎟⎠
Алгебраические дополнения Aij найдем по формуле (3):
A11 = (−1)1+1 ⋅ 4 = 4,       A21 = (−1) 2 +1 ⋅ 2 = −2,
A12 = (−1)1+ 2 ⋅ 3 = −3,     A22 = (−1) 2 + 2 ⋅ 1 = 1.
Подставляя полученные значения алгебраических дополнений и определителя
матрицы в формулу (3), получаем

                                        −        ⎛− 2 1 ⎞
                               1    ⎛ 4   2 ⎞    ⎜      ⎟
                        A−1 =    ⋅ ⎜⎜       ⎟⎟ = ⎜ 3 1 ⎟.
                              − 2 ⎝− 3 1 ⎠ ⎜         − ⎟
                                                 ⎝ 2 2 ⎠
Чтобы проверить, правильно ли найдена обратная матрица, умножим получен-
ную матрицу на исходную.
                      1 ⎛ 4 − 2 ⎞ ⎛1 2 ⎞ 1 ⎛ − 2 0 ⎞ ⎛1 0 ⎞
         A−1 ⋅ A =      ⋅⎜         ⎟⋅⎜       ⎟=   ⋅⎜        ⎟=⎜       ⎟.
                     − 2 ⎝⎜ − 3 1 ⎠⎟ ⎜⎝ 3 4 ⎠⎟ − 2 ⎜⎝ 0 − 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1⎟⎠
В результате умножения получилась единичная матрица, значит, обратная мат-
рица найдена правильно.
Пример 8. Найти матрицу, обратную для матрицы
                                        ⎛1 2 3 ⎞
                                        ⎜       ⎟
                                     А= ⎜1 2 1 ⎟.
                                        ⎜ 0 −1 0⎟
                                        ⎝       ⎠
Вычислим определитель матрицы по правилу треугольников:
            1 2 3
            1 2 1 = 1 ⋅ 2 ⋅ 0 + 2 ⋅1 ⋅ 0 + 1 ⋅ (−1) ⋅ 3 − 3 ⋅ 2 ⋅ 0 −
A = detA=
            0 −1 0
                                      − 1 ⋅1 ⋅ ( −1) − 1 ⋅ 2 ⋅ 0 = −3 + 1 = −2 ≠ 0,
следовательно, обратная матрица существует.
Для матрицы третьего порядка, каковой является заданная матрица, формула
(2) вычисления обратной матрицы принимает вид:
                                            ⎛ A11   A21       A31 ⎞
                                        1 ⎜                        ⎟
                             A −1   =     ⋅ ⎜ A12   A22       A32 ⎟ .                 (4)
                                      | A| ⎜
                                            ⎝ A13   A23       A33 ⎟⎠
Найдем алгебраические дополнения по формуле (4).
                2 1                                       2 3
A11 = (−1)1+1          = 0 + 1 = 1, A21 = (−1) 2 +1               = −(0 + 3) = −3 ,
                −1 0                                   −1 0