Линейная алгебра. Михайлов А.Б - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

- 7 -
Пример 6. Задана матрица
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
651
702
134
A
.
Найти минор элемента
13
a , алгебраическое дополнение элемента
12
a .
Минором элемента
13
a является определитель матрицы, полученной вычерки-
ванием из матрицы А первой строки и третьего столбца:
.10)1(05)2(
51
02
−=−⋅−⋅−=
−
−
=
ij
M
Алгебраическое дополнение элемента
12
a найдем по формуле:
12
21
12
)1( MA
+
−= .
.5)712(
61
72
)1(
21
12
=+−−=
−
−
−=
+
A
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
Определение
. Пусть
A
– квадратная матрица n -го порядка. Квадратная
матрица
B (того же порядка n ) называется обратной для
A
, если
EBA
A
B
=
=
.
Матрицу, обратную к матрице
A
, принято обозначать символом
1−
A
.
Теорема
. Если 0
≠
A , то для нее существует обратная матрица
1
−
A
, кото-
рая вычисляется по формуле
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
==
−
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
A
A
...
............
...
...
||
1
21
22212
12111
1
, (2)
где
ij
A – алгебраическое дополнение для элемента
ij
a матрицы
A
.
(Без доказательства)
Пример 7
. Найти матрицу, обратную для матрицы
.
43
21
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=A
Вычислим определитель матрицы:
=A ,023241
43
21
≠−=⋅−⋅= следовательно, обратная матрица существу-
ет. Формула (2) для матрицы второго порядка имеет вид 
                                        -7-
Пример 6. Задана матрица
                                ⎛− 4           3       1 ⎞
                                ⎜                         ⎟
                            A = ⎜− 2            0       7⎟.
                                ⎜−1            5       6 ⎟⎠
                                ⎝
Найти минор элемента a13 , алгебраическое дополнение элемента a12 .
Минором элемента a13 является определитель матрицы, полученной вычерки-
ванием из матрицы А первой строки и третьего столбца:
                          −2 0
                   M ij =        = (−2) ⋅ 5 − 0 ⋅ (−1) = −10.
                          −1 5
Алгебраическое дополнение элемента a12 найдем по формуле:
A12 = (−1)1+ 2 M 12 .
               −2 7
A12 = (−1)1+ 2        = −(−12 + 7) = 5.
               −1 6
                            ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

     Определение. Пусть A – квадратная матрица n -го порядка. Квадратная
матрица B (того же порядка n ) называется обратной для A , если
                               AB = BA = E .
                                                                         −1
Матрицу, обратную к матрице A , принято обозначать символом A .
                                                                              −1
Теорема. Если A ≠ 0 , то для нее существует обратная матрица A , кото-
рая вычисляется по формуле
                                      ⎛ A11     A21     ...   An1 ⎞
                                      ⎜                            ⎟
                                  1   ⎜ A12     A22     ...   An 2 ⎟
                       A −1   =      =⎜                            ⎟
                                                                     ,             (2)
                                | A|     ...    ...     ...   ...
                                      ⎜⎜                           ⎟
                                       ⎝ A1n    A2 n    ...   Ann ⎟⎠
где Aij – алгебраическое дополнение для элемента aij матрицы A .
                          (Без доказательства)
Пример 7. Найти матрицу, обратную для матрицы
                                        ⎛1 2 ⎞
                                    A = ⎜⎜     ⎟⎟.
                                        ⎝  3 4  ⎠
Вычислим определитель матрицы:
     1 2
A=       = 1 ⋅ 4 − 2 ⋅ 3 = −2 ≠ 0, следовательно, обратная матрица существу-
     3 4
ет. Формула (2) для матрицы второго порядка имеет вид

Страницы