Введение в MATLAB. Мироновский Л.А - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

19
1212
121 2
11 12
11 22 12 21
21 22
2
11 22 11 22 12 21
det
.
aa
aa aa
aa
aa aaaa
34
56
734 343 7
89
34

7434 3
Заметим, что коэффициент при
1
равен следу матрицы А, взятому
с минусом, а свободный член равен ее определителю. Поэтому харак
теристическое уравнение можно записать в виде
2
trA detA 0.121 3 4
Корни
12
,11
этого уравнения и будут собственными числами мат
рицы А.
В MATLAB для получения характеристического полинома матри
цы А можно воспользоваться командой poly(A). Ее результатом будет
вектор коэффициентов характеристического полинома. Корни этого
полинома находим командой roots.
Найдем, например, собственные числа матрицы
12
:
03
12
34
56
>>A=[1 2; 0 3]; p=poly(A); L=roots(p)
В результате выполнения этих команд на экран будут выведены
собственные числа 1 и 3.
Более короткий путь получения собственных чисел состоит в при
менении команды eig (от немецкого «eigen» – собственный). Для на
шего примера, вводя код L=eig(A), получаем векторстолбец собствен
ных чисел с элементами 1; 3. Отметим, что матрица А в примере была
треугольной, поэтому собственные числа равны ее диагональным эле
ментам.
Перейдем к определению собственных векторов квадратной матри
цы. Вектор H называется собственным вектором матрицы А, если в ре
зультате его умножения на матрицу он не изменяет своего направле
ния, а лишь удлиняется или укорачивается.
Алгебраическая запись этого условия имеет вид
AH = 1 H или (A– 1 E)H = 0, (*)
где коэффициент l показывает, во сколько раз изменяется длина векто
ра. Для того чтобы однородная система (*) имела ненулевое решение H,
необходимо, чтобы определитель системы равнялся
нулю:
1
2
det A E 0.34 5
Последнее равенство представляет собой харак
теристическое уравнение матрицы A. Следовательно, его кор
ни
1
,, ,
n
111 т. е. собственные числа, надо поочередно подставлять в
уравнение (*), чтобы найти собственные векторы, причем каждому соб
ственному числу
i
1 будет отвечать свой собственный вектор H
i
.

Страницы