Составители:
20
Замечание 1. Если все собственные числа
1
,,
n
111 различны, то
у матрицы A будет n линейно независимых собственных векторов H
1
,
…, H
n
.
Замечание 2. Поскольку определитель системы (A –
1
i
E)H
i
= 0 равен
нулю, то одно из уравнений этой системы будет линейной комбинацией
других, т. е. «лишним» и его следует отбросить. Решение оставшейся
системы будет определено с точностью до произвольной константы. Гео
метрически это означает, что если H
1
– собственный вектор матрицы A,
то и k H
1
, где k – любое число, также собственный вектор. В пакете
MATLAB при вычислении собственных векторов константа k обычно
выбирается так, чтобы собственные векторы имели единичную длину
(чтобы сумма квадратов их компонент равнялась единице).
Замечание 3. Если матрица A – симметрична, то ее собственные
числа вещественны, а собственные векторы – ортогональны. У не
симметричных матриц все или часть собственных чисел и векторов
могут оказаться комплексными.
Чтобы найти собственные векторы матрицы в пакете MATLAB,
надо использовать команду eig с двумя выходными параметрами
[H,L]=eig(A). При этом столбцами матрицы H будут служить собствен
ные векторы матрицы A, а диагональными элементами матрицы L –
соответствующие им собственные числа.
Пример 1. Дана матрица второго порядка
12
A.
32
12
3
45
67
Чтобы най
ти ее собственные числа, выписываем характеристический полином
12 1212
2
12
det A E 1 2 6 3 4.
32
34
56
34 7 7 34 34 3 74 3 43
89
34
Его корни вещественны
12
1, 4 .1 2 3 1 2
Матричное уравнение для определения первого собственного век
тора имеет вид
11
111
22
12
AH H , .
32
hh
hh
12 12
12
3 4 3 5
67 67
67
89
89 89
Ему соответствует система двух скалярных уравнений:
121 12
12 2 12
2,220,
32 ,330.
hh h hh
hh h hh
1 2 3 1 2
44
5
66
1 2 3 1 2
77
Они отличаются только постоянным множителем и эквивалент
ны уравнению
12
0.hh1 2 Принимая, например,
1
1,h 1 получаем
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- …
- следующая ›
- последняя »
