ВУЗ:
Составители:
10
Если
0
→
τ
, то (1.1) можно заменить дискретной дельта-функцией
)(t
δ
, определяемой следующим образом:
≠
δ
.00,
;0=1,
=)(
t
t
t
(1.3)
Выражение (1.2) несколько упростится
( )
d
k
d
kTttftf −δ
∑
∞
−∞=
)(=)(
. (1.4)
Помимо описания сигнала во временной области представляет инте-
рес отображение этого сигнала в частотной области. Ведь в конечном ито-
ге сигнал нужно будет передавать, обрабатывать, преобразовывать на уст-
ройствах, характеристики которых напрямую будут зависеть от ширины
спектра сигнала. Для нахождения спектра сигнала (1.4) выразим
)(td
в
виде ряда Фурье, коэффициенты которого находятся по формуле
.
1
=)(
1
=
/2
/2
d
T
T
ntj
d
n
T
dtet
T
C
d
d
d
∫
−
ω−
δ
Тогда
( )
ntj
n
d
d
k
d
e
T
kTt
ω
∞
−∞
∞
−∞
∑∑
−δ
==
1
=
, (1.5)
где
d
d
T
π
ω
2
=
– круговая частота дискретизации.
С учётом (1.5) выражение (1.4) примет вид
ntj
n
d
d
d
etf
T
tf
ω
∞
−∞
∑
)(
1
=)(
=
. (1.6)
Умножение сигнала на
ntj
d
e
ω
соответствует сдвигу спектра дискрет-
ного сигнала
)(ω
d
S на n
d
ω
:
( ) ( )
nS
T
S
d
n
d
d
ω−ωω
∑
∞
−∞=
1
=
. (1.7)
На рисунке 1.9 показан спектр дискретного сигнала (1.7), из которого
видно, что он состоит из бесконечного ряда сдвинутых на
d
ω
копий спек-
тра исходного сигнала
)(
tf . Теперь теорема Котельникова может быть
доказана более наглядно. Если частота дискретизации будет меньше
чем
в
2ω
, то копии спектра будут отстоять друг от друга не достаточно
далеко и произойдёт их наложение (рис. 1.10), в результате которого точ-
но восстановить сигнал уже не получится.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
