Анализ и синтез дискретных систем. Муромцев Д.Ю - 24 стр.

UptoLike

Составители: 

22
Произведя замену
d
T
z λ= , это уравнение приводится к виду
0=
1
10
n
n
zazaa
+++ K
,
или умножив на
n
z
:
0=
1
10 n
nn
azaza +++
K
, (2.10)
которое называется характеристическим уравнением, корни которого
d
T
k
k
z λ=
. А решением однородного разностного уравнения (2.7) будет
( )
.==
d
T
t
k
t
k
zty λ
Если все корни
nkz
k
1,=,
характеристического уравнения (2.10) про-
стые (т.е. различные), то общее решение разностного уравнения (2.7) имеет
вид
( )
,=
1=
0
d
T
t
k
k
n
k
zCty
(2.11)
где
k
C
произвольные постоянные, которые определяются из начальных
условий системы. Если среди корней характеристического уравнения имеется
кратный корень
l
z
кратности
l
m
, то ему в (2.11) соответствует слагаемое
.
1
21
d
T
t
l
l
m
d
l
m
d
ll
z
t
t
l
C
T
t
CC
+++ K
(2.12)
Простые комплексно-сопряжённые корни
βα jz
kk
±
±±
±
+
++
+
=
1,
можно за-
менить на одно слагаемое
,sincos
ϕ+
ϕρ
dd
T
t
T
t
B
T
t
A
d
(2.13)
где
22
= βαρ +
++
+
,
α
β
ϕ arctg=
,
BA,
произвольные константы.
Пример. Пусть дискретная система описывается разностным уравне-
нием
121
4=32
+
++
+
+
++
+
iiiii
xxyyy
. Найти реакцию системы на дискретную
дельта-функцию, если она находилась в состоянии покоя.
Решение. Представим разностное уравнение в рекуррентной форме
211
1,50,520,5=
+
++
+
+
++
+
iiiii
yyxxy
.
Так как до подачи воздействия система находилась в состоянии по-
коя, то
0==
21
ii
yy
. Пусть воздействие поступило в момент времени
0=i
, тогда непосредственной подстановкой можно найти реакцию в по-
следующие моменты времени (табл. 2.1).