Сборник задач по дифференциальным уравнениям и их приложениям. Нахман А.Д - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Полагаем uvy = , тогда
uv
xuvvuvu
2
1
ctg =−
′
+
′
.
Как и выше, группируем второе и третье слагаемые:
uv
xvvuvu
2
1
)ctg( =−
′
+
′
,
полагая затем 0ctg =−
′
xvv , имеем
uv
vu
2
1
=
′
. Тогда:
а) xv
dx
dv
ctg= ;
xdx
v
dv
ctg=
;
dxx
v
dv
∫∫
= ctg ;
xv sinlnln
=
;
откуда
xv sin= .
б)
xu
xu
sin2
1
sin =
′
или
xu
x
dx
du
sin2
1
sin =
;
x
dx
duu
2
sin
2 =
.
Интегрируя, получим:
xCu ctg
2
−=
, т.е. xCu ctg−= .
Итак, xCxy ctgsin −= .
2 УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
2.1 Функция
)(xyy = есть решение уравнения
),,( yyxfy
′
=
′
′
(2.1)
(уравнение второго порядка соответственно порядку старшей производной), если при ее подстановке в
(2.1) оно обращается в тождество. Общее решение (2.1)
),,(
21
CCxyy = или 0),,,(
21
=
Φ
CCyx
зависит от двух произвольных постоянных (поскольку в процессе нахождения у интегрирование возни-
кает дважды). Задача Коши имеет вид
′
=
′
=
′
=
′′
)3.2(,)(
)2.2(;)(
);,,(
00
00
yxy
yxy
yyxfy
где
()
000
,, yyx
′
– заданная точка пространства; чтобы удовлетворить начальным условиям (2.2), (2.3),
следует соответствующим образом подобрать
1
C и
2
C .

Страницы