Сборник задач по дифференциальным уравнениям и их приложениям. Нахман А.Д - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2.2 В следующих случаях путем надлежащей замены переменных уравнение второго порядка ре-
шается последовательным рассмотрением двух уравнений первого порядка:
а)
)(xfy =
′′
– уравнение не содержит явным образом переменных у и y
′
. Полагаем yxzz
′
=
= )( , тогда
dx
dz
y =
′′
. Имеем, следовательно:
)(xf
dx
dz
=
(случай первого порядка, причем переменные – разделяются), откуда
),(
1
Cxz
Φ
=
.
Возвращаясь к старой переменной, имеем ),(
1
Cxy
Φ
=
′
и, после интегрирования, ),,(
11
CCxy Ψ= ; здесь
функции Φ и Ψ возникают как результат интегрирования.
Замечание. Фактически общее решение имеет вид
(
)
21
)( CdxCdxxfy ++=
∫∫
.
б) ),( yxfy
′
=
′′
– уравнение не содержит явным образом переменную у. Полагаем, как и в п. а) yz
′
=
,
тогда ),( zxfz =
′
.
Найдя общее решение ),(
1
Cxz Φ
=
, имеем ),(
1
Cxy
Φ
=
′
и снова решаем полученное уравнение перво-
го порядка.
в) ),( yyfy
′
=
′′
– уравнение не содержит явным образом переменную х.
Полагаем )( ypy =
′
, тогда
dy
dp
py =
′′
и, следовательно:
),( pyf
dy
dp
p = .
Находя общее решение этого уравнения
),(
1
Cyp
Φ
=
,
получаем
),(
1
Cyy
Φ
=
′
,
откуда искомое общее решение 0),,,(
21
=
Ψ CCyx .
Говорят, что в указанных случаях а) – в) возможно понижение
порядка.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
xy
x
26
3
sin −=
′′
− .
Решение. Если выразить из уравнения y
′
′
, то получим случай а):
62
3
sin −+=
′′
x
x
y .
Положим
zy =
′
, тогда zy
′
=
′′
и, следовательно:

Страницы