Сборник задач по дифференциальным уравнениям и их приложениям. Нахман А.Д - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

const,,0
=
=
+
′
+
′
′
qpqyypy . (2.4)
Его общее решение имеет вид
2211
yCyCy
+
= , где )(
11
xyy
=
и )(
22
xyy
=
– так называемая фундамен-
тальная система решений (ФСР), которая определяется следующим образом:
а) строится характеристическое уравнение (квадратное уравнение с теми же коэффициентами, что
и (2.4)):
0
2
=+λ+λ qp , (2.5)
откуда qpD
Dp
4,
2
2
2,1
−=
±−
=λ .
б) если уравнение (2.5) имеет действительные различные корни
1
λ и
2
λ (дискриминант
04
2
>−= qpD
), то
x
ey
1
1
λ
= ,
x
ey
2
2
λ
= .
в) если корни уравнения (2.5)
λ
=λ=λ
21
(дискриминант 0
=
D ), то
x
ey
λ
=
1
,
x
exy
λ
=
2
.
г) если уравнение (2.5) имеет комплексно-сопряженные корни
(
)
0;1,
2
21
<−=−=λ+=λ Diibaiba
,
то bxey
ax
cos
1
= , bxey
ax
sin
2
= .
В частности, если ib±=λ , то bxy cos
1
= , bxy sin
2
=
.
Пример 1. Найти общее решение
0522
=
+
′
+
′
′
yyy .
Решение. Это линейное уравнение типа (2.4). Характеристическое уравнение имеет вид
0522
2
=+λ+λ ;
.
2
3
;
2
1
;
2
3
2
1
;
4
62
;6;36404
2,12,1
=−=
±−=λ
±−
=λ
=−=−=
ba
i
i
iDD
Следовательно, имеем случай г):
xey
x
2
3
cos
2
1
−
= , xey
x
2
3
sin
2
2
−
=
и общее решение
2211
yCyCy += принимает вид
+=
−
xCxCey
x
2
3
sin
2
3
cos
21
2
.
Пример 2. Решить задачу Коши

Страницы