Сборник задач по дифференциальным уравнениям и их приложениям. Нахман А.Д - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

=
′
=
=+
′
−
′′
.4)0(
;1)0(
;0168
y
y
yyy
Решение. Найдем общее решение ЛОУ. Характеристическое уравнение
0168
2
=+λ−λ
имеет корни 4
21
=λ=λ . Используется случай б), значит ФСР:
xx
xeyey
4
2
4
1
, == ,
поэтому общее решение имеет вид
xx
xeCeCy
4
2
4
1
+=
.
Подберем теперь постоянные С
1
и С
2
так, чтобы
(
)
21
4
xCCey
x
+= (2.6)
удовлетворило начальным условиям.
Потребуется производная
(
)( )
221
4
2
4
21
4
444 xCCCeCexCCey
xxx
++=++=
′
. (2.7)
Подставим в равенства (2.6) и (2.7) значения 4,1,0
=
′
=
=
yyx из начальных условий:
=++
=+
,4)04(
;1)0(
21
0
1
0
CCe
Ce
т.е. 0;1
21
== СC .
Тогда из (2.6)
x
ey
4
= – искомое частное решение.
2.4 Линейное однородное уравнение (ЛОУ) произвольного порядка с постоянными коэффициента-
ми – это уравнение вида
const,0...
1
)2(
2
)1(
1
)(
==+
′
++++
−
−−
inn
nnn
pypypypypy . (2.8)
Фундаментальную систему решений уравнения (2.8) можно найти следующим образом.
а) Строится характеристическое уравнение (алгебраическое уравнение n-й степени с теми же коэф-
фициентами, что и (2.8)):
0...
1
2
2
1
1
=+λ++λ+λ+λ
−
−−
nn
nnn
pppp . (2.9)
Это уравнение имеет n корней, среди которых могут быть действительные простые или кратные
корни, а также пары комплексно-сопряженных корней (простых или кратных).
б) Если все корни
j
λ уравнения (2.9) простые и действительные, то получаем следующую фунда-
ментальную систему решений уравнения (2.9)
x
ey
1
1
λ
=
,
x
ey
2
2
λ
=
, ...,
x
n
n
ey
λ
= .

Страницы