ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
по известной ФСР (y
1
(x), y
2
(x)) соответствующего линейного однородного уравнения может быть осу-
ществлено в виде, подобном общему решению ЛОУ )()(
22110
xyCxyCy += , но с переменными величинами
C
1
= C
1
(x), C
2
= C
2
(x):
)()()()()(
2211ч
xyxCxyxCxy += .
Производные )(),(
21
xCxC
′′
неизвестных (искомых) функций определяются как решения системы
=
′′
+
′′
=
′
+
′
.)()()()()(
;0)()()()(
2211
2211
xfxyxСxyxС
xyxСxyxС
Можно доказать, что эта система линейных относительно )(
1
xC
′
и )(
2
xC
′
уравнений имеет единст-
венное решение.
Далее, функции C
1
(x), C
2
(x) восстанавливаются как первообразные:
∫
∫
′
=
′
=
.)()(
,)()(
22
11
dxxCxС
dxxCxС
Теперь частное решение ЛНУ y
ч
(x) оказывается найденным и остается записать общее решение y =
y
0
+ y
ч
, т.е. окончательный ответ:
)()()()()()()(
22112211
xyxCxyxCxyCxyCxy +++= .
Заметим, что изложенный метод называется методом вариации произвольных постоянных.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
x
e
x
x
yyy
5
2
4
2510
−
+
=+
′
+
′′
.
Решение. Согласно структуре y = y
0
+ y
ч
общего решения ЛНУ, начнем с соответствующего ЛОУ:
02510
=
+
′
+
′
′
yyy .
Корнями характеристического уравнения 02510
2
=+λ+λ являются числа 5
21
−=λ=λ , следовательно,
ФСР имеет вид
x
exy
5
1
)(
−
= ,
x
xexy
5
2
)(
−
= . Поскольку
)()(
22110
xyCxyCy +=
, то
xx
xeCeCy
5
2
5
10
−−
+= .
Теперь мы можем записать следующую структуру частного решения ЛНУ:
xx
xexCexCy
5
2
5
1ч
)()(
−−
+= .
Составляем систему уравнений для определения )(
1
xC
′
и )(
2
xC
′
:
+
=
′′
+
′′
=
′
+
′
−−−
−−
.
4
))(())((
;0)()(
5
2
5
2
5
1
5
2
5
1
xxx
xx
e
x
x
xexСexС
xexСexС
Вычисляя производные, получаем
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
