Сборник задач по дифференциальным уравнениям и их приложениям. Нахман А.Д - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
xxQxxPexf
mn
x
β+β=
α
sin)(cos)()( ,
где Р и Q – многочлены соответствующих степеней, то частное решение ЛНУ имеет заранее известную
структуру
(
)
xQxxPexy
NN
xr
ч
β+β=
α
sin
~
cos)(
~
. (2.12)
Здесь N – наибольшая из степеней n и m многочленов, r – количество совпадений "контрольного
числа" β+α= iS с корнями
21
, λλ характеристического уравнения (2.5). Коэффициенты
011
,...,,, aaaa
NN −
каждого из многочленов вида
01
1
1
... axaxaxa
N
N
N
N
++++
−
−
в (2.12) определяются следующим образом (метод неопределенных коэффициентов):
а) найти
ч
y
′
и
ч
y
′′
;
б) подставить
ч
y ,
ч
y
′
,
ч
y
′′
в уравнение (2.10);
в) приравнять коэффициенты при одинаковых степенях аргумента (или при синусах и косинусах
соответственно) в левой и правой части полученного тождества.
Решив полученную систему уравнений, следует записать (2.12) с уже найденными коэффициента-
ми. Затем имеем ответ в виде (2.11). В следующих частных случаях (2.12) можно пользоваться табли-
цей:
Вид
Кон-
троль-
ное
число
Вид
1
const)( == Axf
0=S
Mxy
r
=
ч
, const
=
M
2
)()( xPxf
n
=
(многочлен n-й сте-
пени)
0=S
)(
ч
xQxy
n
r
=
3
x
eAxf
α
=)(
α=S
xr
Mexy
α
=
ч
, const
=
M
4
)()( xPexf
n
xα
=
α=S
)(
ч
xQexy
n
xr α
=
5
xBxAxf β+β= sincos)(
)const,( =BA
β= iS
(
)
xNxMxy
r
β+β= sincos
ч
Числа M, N, коэффициенты многочленов )(xQ
n
(см. правую колонку таблицы) определяются опи-
санным выше методом неопределенных коэффициентов; если контрольное число S не совпало ни с од-
ним из
21
, λλ , то множитель
r
x есть 1.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
x
eyyy 332 =−
′
−
′′
.
Решение. Согласно (2.11) начнем с соответствующего однородного уравнения
032
=
−
′
−
′
′
yyy .
Характеристическое уравнение
032
2
=−λ−λ
имеет корни
3
1
=λ
,
1
2
−=λ
и в силу п. 2.3, случай б:

Страницы