Сборник задач по дифференциальным уравнениям и их приложениям. Нахман А.Д - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

в) Каждому действительному корню λ кратности k характеристического уравнения (2.9) соответст-
вуют ровно k линейно независимых решений уравнения (2.8)
x
ey
λ
=
1
,
x
xey
λ
=
2
, ...,
x
k
k
k
exy
λ
−
=
1
.
г) Каждой паре комплексно-сопряженных корней iba
+
=
λ
1
, iba
−
=
λ
2
кратности m характеристиче-
ского уравнения (2.9) соответствуют ровно 2m линейно независимых решений уравнения (2.8) вида
bxey
ax
cos
1
= , bxey
ax
sin
2
= ,
bxxey
ax
cos
3
= , bxxey
ax
sin
4
= ,
... ...
bxexy
axm
m
cos
1
12
−
−
= , bxexy
axm
m
sin
1
2
−
= .
д) Тогда общее решение уравнения (2.8) имеет вид
nn
yCyCyCy
+
+
+
=
...
2211
.
Пример 1. Найти общее решение
08126
=
+
′
+
′
′
+
′
′
′
yyyy .
Решение. Это линейное уравнение вида (2.8). Характеристическое уравнение имеет вид
08126
23
=+λ+λ+λ или 0)2(
3
=+λ .
Отсюда получаем
2
3,2,1
−
=λ
– действительный корень кратности k = 3.
Используем случай в). Следовательно:
x
ey
2
1
−
=
,
x
xey
2
2
−
=
,
x
exy
22
3
−
=
,
и общее решение
332211
yCyCyCy ++= принимает вид
(
)
2
321
2
xCxCCey
x
++=
−
.
2.5 Линейное неоднородное уравнение (ЛНУ) второго порядка имеет вид
)(xfqyypy
=
+
′
+
′
′
. (2.10)
Ограничимся случаем постоянных коэффициентов qp, . Уравнение (2.4) будем называть соответст-
вующим ему ЛОУ. Пусть
ч
y – некоторое частное решение уравнения (2.10), а
22110
yCyCy += –
общее решение соответствующего ЛОУ. Тогда общее решение ЛНУ (2.10):
ч0
yyy += . (2.11)
Согласно (2.11), основная трудность состоит в нахождении
ч
y . Нахождение частного решения ли-
нейного неоднородного уравнения (ЛНУ)
)(xfqyypy
=
+
′
+
′
′

Страницы