Сборник задач по дифференциальным уравнениям и их приложениям. Нахман А.Д - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

()
xxNxMx 2sin42sin2cos4 =++
или
xxNxM 2sin42cos42sin4 =+−
.
Приравнивая коэффициенты при x2sin и x2cos в левой и правой частях равенства, мы получаем
=
=−
,04
;44
N
M
т.е. xxy 2cos
ч
−= .
Итак:
xxxCxCyyy 2cos2sin2cos
21ч0
−+=+=
.
Пример 4. Найти общее решение уравнения
369
=
+
′
+
′
′
yyy .
Решение. Общее решение однородного уравнения
069
=
+
′
+
′
′
yyy
имеет вид
()
3
210
x
eCxCy
−
+= ,
так как
3
1
21
−=λ=λ .
Правая часть неоднородного уравнения
const3)(
=
=
xf ,
при этом контрольное число 0=S не совпадает с корнями
21
, λλ . Следовательно, 0=r и (см. п. 1 табли-
цы) My =
ч
. Находя
0
чч
=
′
′
=
′
yy
и подставляя результаты в уравнение, получим 3;30
=
=
+
MM .
Итак,
3
ч
=y
;
()
3
3
21
++=
−
x
eCxCy
.
3 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
3.1 Как отмечалось выше, общее решение линейного дифференциального уравнения второго по-
рядка содержит две произвольных постоянных (две "степени свободы"). Частное решение может быть
выделено из общего путем задания двух начальных условий. Например, в механике это может быть за-
дание положения движущегося объекта в начальный момент и начальной скорости. Однако, может быть
задано также положение объекта в два различных момента времени. Например, процесс механических
колебаний объекта массы m относительно положения равновесия описывается уравнением
)(tfkyyhym
=
+
′
+
′
′
, (3.1)
где )(tyy = – отклонение в момент t точки от положения равновесия; h – коэффициент трения; k – коэф-
фициент упругости восстанавливающей силы; )(tf – внешняя сила. Если задать положения
α
и
β
объ-
екта в моменты соответственно τ и
∗
τ

Страницы